Прогнозируемая траектория движения транспортного средства?

В игре, которую я разрабатываю, я должен рассчитать, сможет ли мое транспортное средство (1), которое в этом примере движется на север со скоростью V, достичь своей цели (2). Пример изображает проблему сверху:

На самом деле существует два возможных сценария: V является постоянным (приводя к траектории 4, дуга окружности) или транспортное средство обладает способностью ускоряться / замедляться (траектория 3, дуга спирали).

Я хотел бы знать, есть ли простой способ проверить, способно ли транспортное средство достигнуть своей цели (в отличие от превышения ее) . Меня особенно интересует траектория № 3, так как я могу думать только об интеграции положения транспортного средства во времени.

РЕДАКТИРОВАТЬ: конечно, у транспортного средства всегда есть способность управлять, но радиус поворота изменяется в зависимости от его скорости (думайте до максимального поперечного g-сила).

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: также обратите внимание, что (как и большинство транспортных средств в реальной жизни) есть минимальный радиус рулевого управления также для внутриигровых).

Если вы можете изменить свою скорость (то есть угол поворота), вы всегда найдете решение, начиная с вырожденного, когда объект почти остановился, вращаясь по маленькому кругу, до наведения на цель.

Если вы не можете изменить свою скорость, вы можете подумать о недоступных областях или тенях, которых вы не можете достичь, даже используя свое лучшее управление, если цель находится в тех областях, вы не можете ее достичь (если только «перескочить», вы даже можете превзойти их и положить их из области тени).

Ваша лучшая направленность позволяет вам поворачивать влево / вправо по дуге окружности, позволяя вам нарисовать полную окружность:

Как вы можете видеть, что внутри одного из двух кругов не может быть достигнуто напрямую.

Тело массы m , которое движется по кривой с радиусом кривизны r , испытывает радиальную кажущуюся центробежную силу, вызванную инерционным поведением тела, равную:

где V - скорость тела (длина вектора скорости); будучи ускорением тела за счет силы, являющейся:

наше ускорение это:

Если мы говорим, что am - максимальное ускорение, мы получаем, что:

где rm - минимальный радиус с использованием максимального ускорения.

Если вы хотите проверить, может ли пузырек в P, движущийся со скоростью V, достичь цели в T, вы должны:

1) вычислить C1 и C2 как:

2) проверить минимальное расстояние P от C1 и C2 следующим образом:

Если d больше, чем rm, это означает, что T находится за пределами обеих теней, и тогда транспортное средство может быть достигнуто транспортным средством, просто регулирующим поворот под ограничением поворота. (чтобы быть более точным, есть путь при ограничениях, которые позволяют функции расстояния между T и P монотонно уменьшаться)

[ОБНОВИТЬ]

Если возможно изменить скорость, всегда можно получить дугу (то есть пара скорость / радиальное ускорение), которая идет от Р до Т . Это возможно, потому что радиус становится действительно степенью свободы.

Это возможная конструкция:

Черная линия - это ось, где может лежать центр окружностей: она перпендикулярна текущей стороне транспортного средства и проходит через его центр вращения.

Зеленый сегмент представляет собой линию, которая перпендикулярна той, которая соединяет центр транспортного средства с целью и проходит через середину этого расстояния.

Зеленая линия пересекает черную точно в центре желаемой дуги. Длина оранжевого сегмента говорит нам о радиусе поворота, который может быть достигнут путем регулирования скорости и поворота при максимальном повороте или регулирования как скорости, так и направления, чтобы оставаться под ограничением