Как жесткость / жесткость влияет на изгибающий момент балки

Мой вопрос может показаться глупым, так как это в основном здравый смысл, но я могу все перепутать.

Давайте рассмотрим гибкую консольную балку заданной длины, а материал закреплен на одном конце и свободен на другом конце. Давайте предположим, что на свободный конец положен мертвый вес. Это приводит к изгибающему моменту на фиксированном конце, скажем, 10 Нм и определенному прогибу на свободном конце, скажем, 1 см.

Теперь давайте предположим, что толщина пучка увеличивается и в результате становится жестче. Прогиб на конце точно уменьшится, но как насчет изгибающего момента на фиксированном конце? Делает ли балка более жесткой, чтобы уменьшить изгибающий момент?

Ждем ваших мыслей! Большое спасибо

Спасибо за ответы, высоко ценится.

Я получаю, что изгибающий момент, вызванный статической нагрузкой, приложенной к свободному концу, не зависит от упругости балки. Только прогиб делает. Я бы подумал, что чем больше прогиб, тем выше изгибающий момент ... Можете ли вы подтвердить, что это не так? Представьте себе вертикальную монопольную опорную конструкцию длиной 100 м, похожую на тонкий цилиндр, закрепленный на морском дне и подверженный динамическим волновым нагрузкам, возбуждающим все моды цилиндров. Чем тоньше стенка цилиндра, тем более упругим становится цилиндр и тем больше прогибы наверху. Я бы подумал, что максимальный изгибающий момент будет достигнут, когда прогиб будет наиболее значительным, и, следовательно, увеличение жесткости цилиндра с более толстой стенкой уменьшит прогибы и максимальный изгибающий момент, не так ли?

Есть два основных типа структуры.

Статически определенными конструкциями являются те, в которых вы можете рассчитать силы на ограничителях, не зная ничего о гибкости самой конструкции (конечно, вы предполагаете, что она достаточно прочная, чтобы выдерживать нагрузки без разрушения).

Статически неопределенными или избыточными конструкциями являются те, в которых способ передачи нагрузок на ограничители зависит от относительной жесткости (или гибкости) различных частей конструкции. Простым примером статически неопределенной структуры может служить тяжелая прямоугольная коробка, лежащая на столе. Общая сила , действующая на поверхности стола является просто вес коробки, но способ , силы распределены по площади ящик покоится на зависит от гибкости как коробков и таблицы.

Консольная балка, закрепленная на одном конце и нагруженная на другом конце, является статически определенной. Для большинства конструкций балок вы можете построить диаграмму силы сдвига и изгибающего момента, которая показывает силы и моменты повсюду вдоль конструкции.

Размер отклонения луча зависит от его гибкости, но распределение внутренних сил на него не меняется, и силы не меняются при разных «формах» луча, например, при изменении поперечного сечения по его длине, или разделы из разных материалов.

Статически определенные структуры очень удобны для создания инженерных проектов, потому что процесс проектирования разделяется на две части: сначала вы рассчитываете внутренние силы повсюду в структуре, и вы можете выбрать размер конструкции, чтобы выдерживать эти нагрузки с приемлемыми уровнями напряжений ( чтобы избежать провала) и достаточно небольших деформаций. Например, конструкции, такие как фермы, которые поддерживают крышу зданий, не являются «идеально» статически определенными, но они достаточно близки, чтобы их можно было проектировать, если они таковыми являются.

В вашем примере изменение поперечного сечения балки не оказывает никакого влияния на конечный момент, даже если балка представляет собой полую секцию, такую ​​как труба, если отношение длины к глубине больше 10.

Когда луч очень глубокий и это отношение меньше 10, деформация сдвига и деформация полотна могут изменить картину. Мы следуем теории пучка Эйлера-Бернулли, которая является большим упрощением линейной упругости, хотя и гениальной. И эта теория очень эффективна для прогнозирования напряжений, когда луч тонок.

Смотрите краткую историю теории здесь.

О втором вопросе после прочтения ответов:

На самом деле все наоборот. Представьте нагрузку на ваш луч. Интеграция нагрузки - это сила сдвига. Интеграция поперечной силы является моментом. Угол отклонения представляет собой интегрирование момента, деленного на E * I (здесь материал начинает работать, E - модуль Юнга, а I - второй момент площади сечения пучка). Затем вы интегрируете угол отклонения, чтобы найти отклонение по вертикали. (Это может быть полезно: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Direct_integration_of_a_beam )

В статически определенной системе осевые и поперечные силы, а также изгибающие и крутильные моменты не связаны с вашим материалом или вашим сечением (учитывая, что они находятся в упругой области, небольшие прогибы и т. Д.).

Самый большой момент не в точке, где самое большое смещение, в двойной неподвижной балке, опоры имеют самый большой момент, но прогибы равны 0.

Как уже упоминалось в других ответах, при работе со статически определенной структурой жесткость каждого элемента не имеет значения при расчете изгибающего момента, но является ключевой переменной при расчете прогиба. Между тем, для статически неопределенных структур даже расчет изгибающего момента требует жесткости.

Проще говоря, это связано с тем, что в статически определенных конструкциях можно определить, как нагрузка передается через конструкцию на опоры, не заботясь о самой жесткости. Однако в неопределенных конструкциях жесткость напрямую влияет на распределение нагрузки между опорами.

Итак, давайте попробуем вариацию на вашем примере консоли:

Это просто консоль с силой, приложенной к свободному концу. В конце также есть свисающая вертикальная балка (которая не поддерживается внизу).

Теперь мне не нужно ничего знать о жесткости каждого из этих сегментов балки, чтобы определить, как нагрузка будет распределена между ними. Мы тривиально знаем, что свисающий луч не будет ничего делать, и консоль будет противостоять всей нагрузке. В конце концов, этот свисающий луч может быть бесконечно жестким, но это тупик.

Теперь представьте, что вы получили самый тонкий из возможных стальных проводов и использовали его, чтобы соединить нижнюю часть свисающей балки с опорой (с фиксированными соединениями, не закрепленными). Ваша структурная диаграмма становится примерно такой:

Теперь, учитывая, насколько слаб этот новый диагональный «луч» (просто крошечная проволока), мы, вероятно, можем приблизить его жесткость к нулю (особенно по сравнению с жесткостью реальной стальной балки). Что в основном означает, что мы можем притворяться, что диагонали не существует. Следовательно, структура будет вести себя точно так же, как и в первоначальном случае: горизонтальная балка будет сопротивляться всей нагрузке.

Итак, это было достаточно просто.

Но теперь представьте, что диагональные и горизонтальные элементы были перевернуты: диагональ - это стальная балка, а горизонталь - просто жалкая проволока. В этом случае, очевидно, можно утверждать, что нагрузка будет двигаться вниз по вертикальной (ранее висящей) балке, а затем вверх по диагонали к опоре, при этом крошечный провод на самом деле ничего не делает.

Но что, если горизонтальные и диагональные балки являются стальными балками и, следовательно, оба способствуют сопротивлению нагрузке? Ну, тогда мы не можем больше понять это. ¹

И именно поэтому вычисление силы сдвига и изгибающего момента статически неопределенных структур зависит от жесткости элементов: жесткость каждого элемента определяет, какую нагрузку он должен выдерживать. И доля нагрузки, поступающей на каждый элемент, прямо пропорциональна его жесткости: чем жестче балка (по сравнению с другими, разделяющими нагрузку), тем большую нагрузку он должен выдерживать.

Что касается вашего последующего вопроса, ответ просто «нет». Просто подумайте о фундаментальном уравнении луча :

Это говорит нам о том, что первый интеграл нагрузки - это сила сдвига, второй интеграл - изгибающий момент, третий интеграл - угол поворота, умноженный на жесткость, и четвертый интеграл - это отклонение, умноженное на жесткость.

Очевидно, что чем больше нагрузка, приложенная к балке, тем больше будет сила сдвига и изгибающий момент и, следовательно, тем больше прогиб. Но если вы измените жесткость балки (и приложенная нагрузка останется прежней), изгибающий момент останется прежним, но прогиб изменится.

Например, если вы удвоите жесткость балки, как вы ожидаете, что ее прогиб будет вести себя?

$EIw = (2EI)(w/2)$

Если бы ваша идея была правильной, то удвоение жесткости привело бы к другому ответу: сама диаграмма изгибающего момента изменится (скажем, уменьшится вдвое), и тогда отклонение, вызванное этим уменьшенным моментом, само уменьшится вдвое из-за жесткости коэффициент при интегрировании от момента к повороту и прогибу.

¹ _{Это немного не по теме, так что поместите это как сноску. Чтобы реально рассчитать этот случай, вам нужно использовать уравнения совместимости, которые эффективно гарантируют, что отклонение диагонали на свободном конце равно отклонению горизонтали на ее свободном конце плюс отклонение сжатия вертикали. В основном уравнения, которые гарантируют, что все согласны, где (и под каким углом поворота) узлы оказываются в отклоненной форме конструкции.}