Как решить задачу оптимального управления, в которой закон движения зависит от некоторой функции вектора состояния?

Типичная задача оптимального управления с вектором состояния x (t) и вектором управления y (t) может быть выражена как:

max_{x (t), y (t)} \int_{0}^{t_{1}} f (t, x (t), y (t)) d t

$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$

при условии $x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ и граничных условий для $x$ .

Я хочу решить проблему, которая выглядит очень похоже, но закон управления движением таков:

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$

Здесь необходимо выбрать $z(.)$ . Но его аргументом является государство.

Я даже не знаю, где начать искать решения. Как я могу подойти к этой проблеме?

control-engineering control-theory optimal-control

— Дэниел Уиллс
источник

Я думаю, правильный способ записать это

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t))

$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$ . Я исправлю исходный вопрос.

— Даниэль Уиллс,

Добро пожаловать в engineering.SE, +1 за отличный первый вопрос.

— Крис Мюллер

Вы ищете закрытое или формальное решение, или вы спрашиваете о практической оптимизации? В первом случае вы должны спросить об этом на сайте, как math.stackexchange.com . В последнем случае существует ряд дисциплин, посвященных практической оптимизации. В любом случае вам нужно предоставить более подробную информацию, чтобы получить реальный ответ.

— 15:15

Я ищу практическую оптимизацию. Более подробная информация: Подмножество управляющей переменной зависит от (который я называю ), а подмножество управляющих переменных зависит от (который я называю ). Дополнительно мне нужно выбрать функцию . На максимизацию накладывается ограничение Таким образом, интуитивный способ ее решения: - угадать - решить (теперь стандартную) задачу оптимального управления ( учитывая ) - проверьте, если , если нет, угадать другое Но вы видите, что нет причин для сходимости алгоритма. Как люди решают это?

t

$t$

y

$y$

x

$x$

z

$z$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

— Даниэль Уиллс

Ответы:

Почему должен быть внешним по отношению к ? $z$ $g$

g^{'} (t, x (t), y (t)) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$

теперь используйте как $g'$ $g$

$g$ может быть любой произвольной функцией, поэтому любая функция может быть просто включена в . $z$ $g$

Что касается вашего ограничения , упомянутой в разделе комментариев. Любые ограничения на вход управления могут быть введены через функцию стоимости: $h$

f_{n e w} (t, x (t), y (t)) = f_{o l d} (t, x (t), y (t)) - C h (x (t), y (t))^{2}

$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$

Где достаточно велик, чтобы гарантировать значения достаточно близкие к нулю, но не настолько большие, чтобы числовые ошибки в доминировали над исходным . $C$ $h$ $h$ $f$

— стог
источник

Вы можете использовать дискретизацию задачи на точек, так что вам нужно только определить конечное число параметров (при условии, что и являются несколько непрерывными функциями). Для производной и интегрирования вы можете использовать метод Эйлера, можно использовать методы более высокого порядка, но затруднить решение проблемы. $N$ $f$ $g$

Переформулировка дает:

час знак равно \frac{T_{1}}{N - 1}, \vec{Икс} знак равно [{Икс}_{1}, {Икс}_{2}, ..., {Икс}_{N}], \vec{Y} знак равно [Y_{1}, Y_{2}, ..., Y_{N}],

$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$

\begin{aligned} \underset{\vec{Икс}, \vec{Y}}{Максимум} & Σ_{N знак равно 1}^{N - 1} е (час (N - 1), {Икс}_{N}, Y_{N}) час \\ s, T, & {Икс}_{N + 1} знак равно {Икс}_{N} + г (час (N - 1), {Икс}_{N}, Y_{N}) час, & N знак равно 1, 2, ..., N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$

Вы также должны добавить граничные ограничения в ограничения равенства задачи оптимизации. Вы можете использовать несколько различных методов для решения этой проблемы, например, если у вас есть доступ к Matlab, вы можете использовать fmincon , который минимизирует функцию стоимости, которую можно исправить, добавив знак минус перед суммой. Часто вам также необходимо указать начальное предположение, которое также может повлиять на решение, поскольку разные предположения могут сходиться к разным локальным максимумам. Увеличивая вы получите более точное решение, но, вероятно, решение займет больше времени. Он может сходиться быстрее, если вы используете решение задачи с меньшим количеством точек и интерполируете их, а затем используете это как начальное предположение для задачи о большем количестве точек. $N$

— fibonatic
источник