Какова физическая интерпретация второго члена в тензоре вязких напряжений в уравнениях Навье-Стокса?

Я долго искал этот ответ. Я читал многочисленные тексты и даже смотрел некоторые лекции в Интернете, но часто это никогда не объясняется и просто дается. Член вязкого напряжения в уравнениях Навье-Стокса имеет вид

\nabla \cdot τ знак равно \nabla \cdot μ (\nabla \vec{U} + (\nabla \vec{U})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Теперь термин достаточно прост для понимания, так как это просто диффузия скорости, но мне трудно придумать физическую интерпретацию термина . После того, как я расширил этот термин, я закончил с $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

что, по-видимому, подразумевает, что этот эффект отсутствует в бездивергентном поле скоростей, но я все еще не могу придумать или найти какую-либо физическую интуицию о том, что на самом деле означает этот термин. Кто-нибудь понимает, что физически представляет этот термин?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Адам О'Брайен
источник

Дополнение: вы правы в том, что в несжимаемом потоке отсутствует термин. Похоже, что он учитывает диффузию импульса из-за градиентов плотности. Две соседние части жидкости могут иметь одинаковую скорость, но разный импульс, между ними нет сдвиговых напряжений, но импульс будет рассеиваться.

— Дан

Этот вопрос по теме для Инжиниринга. Я удалил несколько комментариев, предлагающих другие сайты по этому вопросу. Частично из-за необходимости прикладного понимания уравнения, но также потому, что это часть механики сплошных сред. Пожалуйста, помните, что можно немного завидовать вашему сайту

Связанное обсуждение мета: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Вопрос о наличии градиента импульса из-за ненулевого градиента плотности был хорошим. Спасибо всем за ваши ответы!

— Адам О'Брайен

Ответы:

Вы не должны разделять эти два термина в поисках физической интерпретации. Термин является скорость деформации тензор . Поток импульса (или напряжение) из-за того, что у нас есть текучая жидкость, приходится на весь член . В уравнении NS оба термина могут рассматриваться как плотность силы (сила на единицу объема). Вы правы, что второе слагаемое равно нулю для несжимаемых потоков (см. Здесь ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

ОБНОВЛЕНИЕ: Полный вывод тензора скорости деформации является сложным, и это могло бы быть вне области здесь. Если вам интересно, я обнаружил, что хорошим ресурсом является Введение в механику жидкости от Whitaker. Вкратце, допустим, что тензор представляет скорость деформации и твердое тело, как вращательное движение. Любой тензор можно разложить следующим образом: $\nabla \vec{u}$ Первый член обычно называется тензором скорости деформации, он симметричен, и можно показать, что он не содержит жесткого вращательного движения. Второй член обычно называют тензором завихренности, он кососимметричен, и можно показать, что он не влияет на скорость деформации и что он представляет собой жесткое вращательное движение.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Саломон Тургман
источник

Это то, что я нашел, изучая это, но я пытался найти что-то вроде деривации тензора скорости деформации, прежде чем переходить к ответу, чтобы понять, почему он включает в себя регулярную и транспонированную матрицу.

— Тревор Арчибальд

Спасибо, я прошел через вывод тензора скорости деформации из геометрии, как вы предложили, и это мне очень помогло.

— Адам О'Брайен

Я согласен с @sturgman, что не нужно смотреть на отдельные части, а пытаться понять это в контексте ints.

Рассматривая самую базовую версию уравнения Навье-Стокса (используя нотацию Эйнштейна ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Подчеркнутая часть в оригинале может быть переписана.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Что приводит к:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

В символической записи это должно выглядеть так:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
источник

Я извиняюсь :-( Это не было моим намерением.

— Петер - Восстановить Монику