Как можно рассчитать изменение тепловой энергии, когда удельная теплоемкость меняется в зависимости от температуры?

9

Многие материалы имеют удельную теплоемкость, которая изменяется в зависимости от температуры, особенно когда изменение температуры становится большим. Как рассчитать тепловую энергию, которую получает объект в этом случае? Можем ли мы просто использовать удельную теплоемкость при начальной или конечной температуре?

— Макс Нин
источник

10

Аналогично моему ответу о расчете силы рычага в непрерывной ситуации ; вам нужно использовать интеграцию.

Вы начинаете с того, что берете стандартный закон теплопроводности, который вам знаком с и заменяете s дифференциалами: Это новое уравнение гласит: Для бесконечно малого (очень маленького) изменения температуры я получаю бесконечно малое (очень маленькое) изменение в жаре. В пределе бесконечно малых все линейно, так что это простое линейное уравнение все еще выполняется. Теперь вы просто суммируете все бесконечно малые изменения теплового потока, используя интегрирование Если вы на самом деле не хотите делать интеграцию, это нормально. Matlab без проблем сделает это за вас, и подход Matlab работает, даже если у вас нет аналитической функции для описания

Δ Q = c m Δ T

$\Delta Q=c\ m\ \Delta T$

Δ

$\Delta$

d Q = c (T) m d T .

$dQ=c(T)\ m\ dT.$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} c (T) d T .

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}c(T)\ \ dT.$

c (T)

$c(T)$ (т.е. у вас есть только данные). Если у вас нет доступа к Matlab, используйте Python . Это бесплатно, с открытым исходным кодом, и невероятно мощный.

— Крис Мюллер
источник

Не поймите меня неправильно, я большой поклонник Python, но GNU Octave кажется более подходящей в роли бесплатной альтернативы MATLAB. Во-первых, он совместим с файлами .mat.

— Air

@ Air Это может быть правдой; Я никогда не использовал Октаву. Переход на Python с Matlab не сложен, и, как мне кажется, он более развит, чем Octave. Я также знаю, что процедуры числовой интеграции Python (часть SciPy) надежны, потому что я использовал их несколько раз.

— Крис Мюллер

6

Ни. В такой ситуации не существует «простого» линейного решения; вам нужно использовать интегральное исчисление, чтобы сложить добавочное тепло, поглощаемое при каждой температуре по пути. Единственный раз, когда этот расчет становится простым умножением, это когда интегрируемое количество (удельная теплоемкость) является постоянным во всем диапазоне интегрирования.

— Дэйв Твид
источник

5

Ни.

Как уже указывалось, это не тривиально, но вот предложенный метод:

точно отмерьте определенное количество топлива, затем сожгите это топливо и используйте материал с очень постоянной или иначе хорошо известной удельной теплоемкостью, чтобы определить, сколько энергии испытывает ваш образец во времени, записывая его температуру.
используйте то же количество топлива в том же устройстве с образцом для испытаний с идентичными геометрическими свойствами, но с другим материалом, и повторите эксперимент. На этот раз вы принимаете энергию, которую получает ваш образец для испытаний, на основании шага 1 и используете зарегистрированную температуру для определения удельной теплоемкости материала.
Теперь, когда у вас есть кривая удельной теплоемкости для этого материала, используйте ее, как и любой другой материал, но интегрируйте свою кривую по диапазону температур, который вы измеряете, чтобы определить количество поглощенной тепловой энергии.

Этот метод не идеален, он основан на линейной суперпозиции, которая не совсем подходит для температуры, поскольку некоторые факторы теплообмена имеют нелинейную зависимость, но это неплохой метод для «калибровки» вашего материала на базовом уровне.

— thepowerofnone
источник

4

Я бы попробовал подогнать материал под модель.
Модель Debye является «стандартной». (извините, статья в вики немного перегружена.) В модели Дебая материал может соответствовать одной «температуре Дебая».

Редактировать по запросу. (хотя я бы доверял статье вики над моим ответом.) При высоких температурах (но не слишком высоких) материалы имеют теплоемкость, равную 3kT * N, где N - число атомов. (Только атомы, а не электроны учитывают теплоемкость, что интересно ...) По мере падения температуры атомы перестают так сильно дрожать, и некоторые из колебательных мод "замирают". Моды имеют такую высокую энергию, что тепловой энергии недостаточно для их возбуждения. Температура Дебая - грубая мера того, где моды замерзают, и теплоемкость начинает уменьшаться.

— Джордж Херольд
источник

Не могли бы вы добавить немного больше информации, а не просто ссылку?

— Хаззи

3

Если у вас есть уравнение , проблема проста (если интеграция не создает проблем), поскольку как ответил Крис Мюллер. $Cp=f(T)$

Δ Q = m \int_{T_{i}}^{T_{f}} C p (T) d T

$\Delta Q=m\int_{T_i}^{T_f}Cp(T)\ \ dT$

Допустим, вы знаете только и . Итак, интерполируйте линейно, чтобы получить и, интегрируя, вы получите который показывает, что вам просто нужно использовать среднее значение известных . $Cp(T_i)$ $Cp(T_f)$

C p (T) = C p (T_{i}) + \frac{C p (T_{f}) - C p (T_{i})}{T_{f} - T_{i}} (T - T_{i})

$Cp(T)=Cp(T_i)+\frac{Cp(T_f)-Cp(T_i)}{T_f-T_i} (T-T_i)$

Δ Q = m \frac{C p (T_{f}) + C p (T_{i})}{2} (T_{f} - T_{i})

$\Delta Q=m\, \frac{Cp(T_f)+Cp(T_i)}2 \,(T_f-T_i)$

C p

$Cp$

— Клод Лейбовичи
источник

это совершенно верно, когда функция является линейной; во всех остальных случаях это приближение, хорошее или плохое приближение в зависимости от и от того, как и насколько сильно изменяется функция с

c_{p}

$c_p$

δ T

$\delta T$

c_{p}

$c_p$

T

$T$

— mattia.b89

@ mattia.b89. Вы абсолютно правы, но, с практической точки зрения, в ограниченном диапазоне температур является почти постоянной величиной, и линейное приближение достаточно хорошее. Когда это не так, конечно, нам нужно больше информации (подгоните экспериментальные данные и интегрируйте).

C p

$Cp$

— Клод Лейбовичи