Принцип виртуальной работы против второй теоремы Кастильяно

Я посмотрел онлайн и немного литературы, однако я не нашел хорошего сравнения для двух разных методов. Они оба используются для определения смещений и уклонов (вращение посредством тета) в точке континуума. Прежний использует виртуальную единицу силы, которая равна энергии деформации в элементе (при умножении на смещение интереса), а последний использует дифференциал по отношению к виртуальной силе, которая стремится к нулю.

Какой из них более эффективен, а какой более точен? Почему бы выбрать виртуальную работу вместо Кастильяно или наоборот?

Краткий ответ: Кастильяно дает быстрые точные решения в нескольких ключевых точках большой сложной структуры, в то время как виртуальная работа дает пригодные для использования приближенные модели для сложных систем, которые в противном случае были бы неразрешимыми.

Теорема Кастильяно и виртуальная работа - две стороны одной математической монеты. Методы Кастильяно предшествуют виртуальной работе, но начинают основополагающие принципы виртуальной работы. Он формирует более простую половину виртуальной работы, где смещения могут быть решены с помощью линейного анализа, но мы используем виртуальную работу, чтобы получить ответ быстрее. Виртуальная работа описана для второй половины, где мы не могли решить смещения с помощью линейного анализа (без решения дифференциальных уравнений и добавления множества коэффициентов), и вместо этого мы полагаемся на виртуальную работу, чтобы найти хороший приблизительный ответ, который подходит для многих из граничные условия.

Как указывалось выше, в большинстве применений того, что инженеры используют для метода Кастильяно, основной принцип состоит в том, чтобы использовать то, что известно из линейной теории упругого пучка или ферменной конструкции (это может быть использовано во многих аспектах для этих структур), и быстро решать для структуры подвергается весьма необычным силам. Уравнение для сил записывается в терминах многих неизвестных сил статически определимой структуры, а затем неизвестные силы будут удалены. Применяется одна из неизвестных (или необычных, но известных) сил, и линейные модели и таблицыИспользуемые для одиночных сил могут быстро сообщить нам фактическое смещение в различных точках конструкции. Одна сила может привести к 500 ньютонам силы в точке реакции на ньютон первоначальной силы или 5 ньютонам. Это записано. Неизвестная сила удаляется, а новая сила добавляется и проверяется. Как только все эти реакции и силы найдены, метод Кастильяно может решить, каким будет окончательное отклонение для всего состояния нагрузки, которое может отсутствовать в таблице решенных состояний нагрузки. Это особенно полезно в случае, когда существуют упругие опоры, опоры, которые отклоняются в зависимости от того, какое усилие они прикладывают, что происходит в любой реальной системе. Единственным ограничением этого подхода является то, насколько детализированы таблицы, и принцип суперпозиции. До тех пор, пока система может быть обработана с использованием суперпозиции,

Принцип виртуальной работы выходит за рамки этого принципа - вместо этого идея состоит в том, чтобы просто написать уравнение для перемещений с неизвестными коэффициентами. Это может быть решением для управляющего DE или совершенно неточным, но оно должно быть способным разрешить все граничные условия (в точке A смещение равно 0 и т. Д.). Для балок взятие второй производной уравнения смещения приводит к уравнению момента, а третье - к уравнению сдвига. Для пластин и других континуумов смещение - это деформация, умноженная на длину. Любые термины напряжения могут быть записаны как тензор жесткостивремя деформации, так что вся виртуальная работа может быть выражена просто в терминах нашего неизвестного уравнения смещения, в принципе. Следовательно, работа заключается в том, чтобы просто найти те неизвестные коэффициенты, чтобы они минимизировали виртуальную работу (как в потенциальной энергии для статических систем, так и в сумме потенциальной энергии и кинетической энергии для динамических систем).

Пример этого часто дается с уравнениями, используемыми для анализа методом конечных элементов, где вместо обычно квартальных уравнений смещения используется кубическое уравнение для смещения. Это потому, что у нас есть максимум две степени свободы для вращений и две степени свободы для перемещений, поэтому самое большее, что мы можем иметь, - это четыре неизвестных коэффициента - кубическое уравнение. Обратите внимание, что это означает, что FEA должен затем разделить распределенную нагрузку на точечные нагрузки, которые позволяют кубическому уравнению иметь те же отклонения, что и исходная квартика. Вот что приводит к тому, что отдельные элементы не показывают те же отклонения среднего диапазона, что и исходная квартика:

Даже без суперпозиции принцип виртуальной работы остается в силе, пока ваш тензор жесткости учитывает изменение напряжения в отношении напряжения. Это может занять независимое неизвестное уравнение напряжения , чтобы использовать вместо тензора жесткости. Такие вариации используются во многих областях инженерами, которым необходимо создавать математические модели своих систем, которые составляют основу практически для всех методов конечных элементов. Таким образом, Кастильяно дает быстрые точные решения в нескольких ключевых точках в большой сложной структуре, в то время как виртуальная работа дает пригодные для использования приближенные модели для сложных систем, которые в противном случае были бы неразрешимыми.