Условная стабильность

Я изучаю операционные усилители и обратную связь, а также влияние обратной связи на их стабильность. Я читал об усилении и фазовой марже и их использовании, когда натолкнулся на это :

Я не совсем понимаю, как система, показанная на рисунке, будет стабильной, учитывая, что примерно при 2 кГц обратная связь будет положительной; Я бы подумал, что это приведет к тому, что частота 2 кГц станет больше и больше, а не сходится.

Почему эта система будет стабильной?

Именно поэтому я думаю, что люди должны сначала изучать стабильность, используя графики Найквиста, а затем - диаграммы Боде и соответствующие диаграммы усиления и фазового запаса.

Поля усиления / фазы являются просто удобным способом определения того, насколько близко система находится к наличию полюсов с правой стороны комплексной плоскости, с точки зрения того, насколько близко график Найквиста достигает -1, потому что после частичного расширения дроби эти члены с положительные полюса заканчиваются экспонентами времени с положительным коэффициентом, что означает, что оно уходит в бесконечность, что означает, что оно неустойчиво.

Однако они работают только тогда, когда сюжет Найквиста выглядит «нормально». Вполне возможно, что он делает что-то вроде этого:

Таким образом, это нарушает правило запаса по фазе, но передаточная функция G (s) H (s) без разомкнутого контура не окружает -1, поэтому 1 + G (s) H (s) не имеет нулей на правой стороне, это означает, что замкнутый контур не имеет полюсов с правой стороны, поэтому он все еще стабилен.

Условное слово происходит от того факта, что усиление имеет верхнюю / нижнюю границы, чтобы удерживать его таким образом, и их пересечение делает систему нестабильной (поскольку она смещает кривую достаточно для изменения количества циклов -1).

Условная устойчивость в отклике без обратной связи.

Во-первых, поскольку это от Ридли, вы можете поспорить, что это отклик разомкнутого контура силового преобразователя. Этот отклик будет стабильным для показанного усиления для небольших линейных возмущений контура. Если возмущение контура становится достаточно большим, чтобы привести усилители в нелинейный режим, контур, скорее всего, станет колебательным, поскольку при работе в нелинейном регионе коэффициент усиления усилителя будет ниже.

Проблема с такими контурами заключается в том, что, хотя они стабильны, для систем обычно характерно усиление, которое широко варьируется в зависимости от входного напряжения, нагрузки или температуры, или их комбинации. Если вы используете условно устойчивый цикл, вы должны убедиться, что ни одна из этих зависимостей не будет иметь значения во время любого режима работы (включая условия запуска). Как только петли такого типа начинают колебаться, они имеют тенденцию к слипанию (колебание уменьшит усиление, чтобы сделать это так).

Обратите внимание, что петля, как показано, правильно скомпенсирована двумя нулями, чтобы покрыть 2 полюса. Проблема заключается в том, что полюса, вероятно, происходят от LC-фильтра (сложных полюсов) в цикле. Будут иметься катушка индуктивности с малыми потерями и конденсаторная батарея с малыми потерями, которые будут объединяться для обеспечения высокого Q-отклика. Поскольку этот Q высок, весь фазовый вклад от LC будет происходить в очень небольшом диапазоне частот; на графике это выглядит примерно на октаву для 180 градусов потери фазы. Компенсаторные нули операционных усилителей будут простыми, и поэтому фазовое усиление будет происходить в течение двух десятилетий (как минимум). Таким образом, даже если имеется достаточное увеличение фазы, чтобы покрыть потерю фазы LC, будет падение фазы и нулевой или нулевой запас фазы в середине около полюсов.

Возможные способы устранения этого типа ответа петли:

• Компенсирующие нули можно разделить так, чтобы они входили перед полюсами (заключите в скобки полюсы), добавляя некоторый фазовый удар рано. Это может привести к увеличению запаса по фазе при падении фазы, но этого может быть недостаточно.

• Лучшим действием обычно является снижение добротности LC-фильтра.

Деконструкция петли:

Чтобы показать, как этот тип отклика может возникнуть, цикл может быть деконструирован с использованием простой модели.

Я на самом деле не знаю схему, которая создала ответ, который опубликовал ОП, но я подозреваю, на основании того, как выглядит ответ, полученный от регулятора с непрерывным повышением режима проводимости. Базовая модель будет включать в себя LC-фильтр, PowerModulator и усилитель ошибок. Полусхема версии с открытым контуром переменного тока:

Схема в целом будет отражать поведение бустерной петли CCM, хотя детали здесь выбраны, чтобы быть разумными и получить наиболее удобное соответствие с размещенной петлей ... с наименьшим количеством работы. Это всего лишь инструмент, помогающий разделить все части цикла и показать, как они будут объединяться в общий цикл.

Начнем с результата этой модели, полного цикла:

Не так уж плохо ... выглядит довольно близко к оригиналу. Вы можете видеть основной характер петли интегратора с резонансным возмущением LC на частоте 1000 Гц. На частотах ниже полюсов LC усиление контура падает на уровне -20 дБ за десятилетие, а на частотах выше коэффициентов усиления LC возобновляет снижение на -20 дБ за десятилетие. Таким образом, поскольку в целом наблюдается спад на 1 полюс (-20dB /), что-то удалось справиться с этими двумя полюсами LC, покрыв их нулями. Есть дополнительные артефакты, которые появляются выше ~ 20 кГц; Ноль ESR в LC-фильтре, ноль правой полуплоскости (rhpz) и частота Найквиста; который будет упомянут вкратце.

Ответ фильтра LC:

$C_o$

Модулятор мощности с LC-фильтром:

Модулятор мощности был добавлен в LC-фильтр здесь. Модулятор мощности имеет усиление 30 дБ, правую половинную плоскость ноль на 70 кГц и полюс для частоты Найквиста на частоте 100 кГц (да, я знаю, что добавление полюса не является правильным способом обработки Найквиста, но это придется делать для этого ). За исключением 30 дБ усиления, график усиления выглядит так же, как только LC. Но как насчет этого этапа? Это rhpz, который показывает фазу как полюс lhp, но получает как ноль lhp. Это в основном то, почему фаза разомкнутого контура никогда не восстанавливается так, как вы думаете после LC-резонанса.

Усилитель ошибок:

Здесь вы можете увидеть отклик усилителя с его полюсом низкочастотного интегратора, за которым следуют 2 нуля на частотах около 1 кГц и 7 кГц, полюс на частоте 42 кГц, чтобы сгладить последний ноль перед запуском в ограничение полосы пропускания усиления усилителя.

Операционный усилитель имел полосу пропускания 20 МГц с усилением 140 дБ и низкочастотный полюс 2 Гц. Коэффициент усиления интегратора устанавливается R1 и C1. Первый ноль установлен C1 и R3. Второй ноль установлен C2 и R1. Выравнивающий полюс устанавливается C2 и R2.

Сначала немного разъяснений. То, что вы строите, - это коэффициент усиления L (s) контура, который соответствует G (s) H (s) на следующей диаграмме:

Полная передаточная функция (также называемая усилением с обратной связью ) в этом случае:

Обратное преобразование будет иметь растущие экспоненты (что означает, что это нестабильная система) всякий раз, когда эта функция имеет полюса в правой части (RHS) s-плоскости. Это то же самое, что выяснить, есть ли на RHS какие-либо нули s-плоскости 1 + L (s). Таким образом, в основном нестабильность определяется усилением контура, поэтому нет необходимости вычислять более сложное усиление с обратной связью. Таким образом, когда речь идет о стабильности, графики почти всегда имеют коэффициент усиления L (s).

Вернуться к вашему вопросу:

Относительно утверждения о нестабильности системы, когда усиление больше 0 дБ с инвертированной фазой (-180), позвольте мне ответить на наглядный контрпример. Рассмотрим очень простое:

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Согласно чрезмерно предполагаемому критерию, который гласит:

если коэффициент усиления контура положительный при -180 °, система будет нестабильной.

Тогда если | K | > 1 тогда оно должно быть нестабильным.

Но это не так. Выход:

Стабильная.

С другой стороны, если K = -1, то у нас есть проблема (она становится нестабильной).

Выше приведен пример только константы, но в целом знание того, что усиление составляет> 0 дБ при -180, не означает, что система нестабильна . Если в вашей книге говорится об этом, это неправильно (но, по-видимому, будет правильным для многих типичных случаев).

Если вы начнете воображать, что вышеупомянутая система имеет небольшую задержку и что сигнал E не успел ответить и имеет неправильное значение, а затем посмотрите, как он итеративно распространяется по циклу, вы придете к выводу, что сигнал будет расти без связаны. И с этим вы попадете в ментальную ловушку, из которой трудно выбраться, и именно это, я думаю, является основополагающим заблуждением, которое не позволяет концептуально признать, что система в вашем вопросе может быть стабильной.

Сюжет Боде - это просто кусочек Найквиста, а критерий устойчивости Боде применим, только когда заговор Найквиста типичен, но Боде - просто удобство (его легче построить, чем Найквиста).

Графики Найквиста и его упрощенная версия графиков Боде - это всего лишь графические методы, в основном:

1. Узнайте, есть ли в системе полюсы RHS, которые становятся экспоненциальными.
2. Получите представление о том, насколько далека система от стабильности / нестабильности и что с этим можно сделать.

Также, чтобы уточнить, нет затопления, которое минимизирует нестабильные частоты. Одно простое объяснение состоит в том, чтобы принять во внимание, что полный отклик - это суперпозиция откликов всех частот, поэтому просто не существует способа его исправить, так же, как вы не можете отменить синусоиду определенной частоты с любым числом синусоиды разных частот.

Но опять же, неправильное мышление с точки зрения частот, делающих систему нестабильной. Эта нестабильность отличается от бесконечно резонансной частоты, как в незатухающей системе 2-го порядка. Это колебательная система, но нестабильность, о которой мы говорим, заключается в том, чтобы расти без границ с любым входом (кроме нуля).

Простой способ доказать это - осознать, что нестабильная система будет иметь полюса на правой стороне s-плоскости и что:

Таким образом, нет способа, которым он может отменить полюс в передаточной функции, которая умножает его. Выход по-прежнему будет расти без границ.

Колебательный отклик вступает в игру, только если фаза плохая при пересечении нуля усиления. Эта петля является условно стабильной, потому что, если какой-то фактор уменьшает усиление (вызывая его более ранний переход), он может пересекаться в той области 2 кГц, где фаза опасна, и создавать колебательный отклик.

Чтобы сделать этот цикл безоговорочно стабильным, потребуется либо некоторое увеличение фазы, чтобы переместить этот участок 2 кГц из опасной зоны, либо усиление должно было бы перейти на гораздо более низкую частоту (в области до падения фазы).