Почему F + F '= 1?

15

У меня есть функция: $f(x,y,z,w) = wx + yz$

Я обнаружил, что его функция дополнения: $f '(x,y,z,w) = w'y' + w'z' + x'y' + x'z'$

Я должен показать, что: но я не вижу, как это сделать. $f + f '=1$

Кажется, что просто нет ничего, что могло бы уничтожить друг друга.

редактировать

Как и предполагалось, я теперь использовал теорему Деморгана и нашел это:

$f + f' = wx+yz+(w+y)'+(w+z)'+(x+y)'+(y+z)'$

Но мне все еще кажется, что нет ничего, что приближает меня к пониманию $f+f' = 1$

boolean-algebra

— деревенщина
источник

6

Подсказка: используйте закон

— Деморгана

11

Или f или f 'должны быть 1

— Чу

4

У вас есть только 4 входа. Если ничего другого, вы можете просто написать таблицу правды.

— Фотон

2

Spehro прав на деньги, но да, применение DeMorgan в качестве первого шага не помогает. Итак, чтобы немного расширить подсказку Spehro: решение включает в себя создание некоторой базовой алгебры, которая включает в себя DeMorgan в качестве шага. Используя простую алгебру + DeMorgan, вы можете превратить функцию f 'в явно очевидное отрицание f. Нацарапав его на листе бумаги, мне понадобилось всего 4 шага, чтобы сделать это.

— г-н Снруб

1

@ Mr.Snrub, первый шаг «я нашел его функцию комплемента» должен быть (wx + yz) ′

— OrangeDog

4

Так как Карл спросил мило. Начальная точка:

е (Икс, Y, Z, вес) знак равно вес Икс + Y Z

$f(x,y,z,w)=wx+yz$ и

е' (Икс, Y, Z, вес) знак равно вес' Y' + вес' Z' + Икс' Y' + Икс' Z'

$f′(x,y,z,w)=w′y′+w′z′+x′y′+x′z′$

Выполните следующие шаги с $f'$ :

е' (Икс, Y, Z, вес) знак равно вес' (Y' + Z') + Икс' (Y' + Z')

$f′(x,y,z,w)=w′(y′+z′)+x′(y′+z′)$

f' (x, y, z, w) = (w' + x^{'}) (y' + z')

$f′(x,y,z,w)=(w′+x')(y′+z′)$ DeMorgan:

f' (x, y, z, w) = (w x)' (y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx)′(yz)'$ DeMorgan, опять же:

f' (x, y, z, w) = (w x + y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx + yz)'$ Итак, теперь правая часть

f^{'}

$f'$ - это просто простое отрицание правой части

f

$f$ , Это немного антиклиматично, так как теперь мы просто полагаемся на тот факт, что любое выражение

x + x^{'} = 1

$x + x' = 1$ , о чем люди все время говорили о

f + f^{'} = 1

$f+f'=1$ , но, по крайней мере, оно дает немного Объяснение булевой алгебры, почему это так.

— Мистер Снруб
источник

Я не понимаю, как вы попали на вторую строчку, не пройдя мимо вашего окончательного ответа. Ваш окончательный ответ был моим первым шагом: это просто отрицание обеих сторон.

— С. Ланге

Первые две строки являются формулами, заданными OP. Они являются отправной точкой по определению. Я полностью согласен с тем, что позднее материал мог быть частью вывода этих первых двух формул. Но у нас нет этой информации; мы просто не можем подтвердить.

— г-н Снруб

Понял - на предположении , что

и

были даны в вопросе , как OP написал их. Насколько я понимаю , что ОП уже пытались расширить

и не знал , куда идти оттуда.

f

$f$

f^{'}

$f'$

f^{'}

$f'$

— С. Ланге

41

Дело в том, что на самом деле не имеет значения, что на самом деле представляет функция $f()$ . Ключевым фактом является то, что его вывод представляет собой одно двоичное значение.

Это фундаментальный факт в булевой алгебре, что дополнение двоичного значения истинно всякий раз, когда само значение ложно. Это известно как закон исключенного среднего . Таким образом, ORing значения с его дополнением всегда истинно, а ANDing значения с его дополнением всегда ложно.

Приятно, что вы смогли получить конкретную функцию $f'()$ , но это на самом деле не имеет отношения к конкретному вопросу!

— Дэйв Твид
источник

1

Это известно как закон исключенного среднего .

— BallpointBen

@BallpointBen: Спасибо! Я добавил это в свой ответ.

— Дэйв Твид

13

Все предыдущие ответы верны и очень глубоки. Но более простой способ достичь этого - помнить, что в булевой алгебре все значения должны быть либо 0, либо 1.

Итак ... либо F равно 1, тогда F 'равно 0, либо наоборот: F равно 0 и F' равно 1. Если вы затем примените логическую OR-функцию: F + F ', у вас всегда будет одна обоих слагаемых 1, поэтому результат всегда будет 1.

— Opifex
источник

11

Мой ответ похож на ответ Дэйва Твида, и это означает, что я перевел его на более официальный уровень. Я, очевидно, ответил позже, но я все же решил опубликовать его, так как кто-то может найти этот подход интересным.

Отношение, которое вы пытаетесь доказать, не зависит от структуры функции $f$ поскольку фактически является тавтологией . Чтобы объяснить, что я имею в виду, я предлагаю демонстрацию общего правильно сформированного булева выражения $P$ в произвольном числе булевых переменных, скажем, $n\in\Bbb N$ , $y_1,\ldots,y_n$ , где $y_i\in\{0,1\}$ для всех $i=1,\ldots,n$ .
У нас есть что $P(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}$ и рассмотрим два следующих набора булевых значений для $n$ мерного булева вектора $(y_1,\ldots,y_n)$

\begin{aligned} Y & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 1} \\ \bar{Y} & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 0} \end{aligned}

$\begin{align} Y&=\{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=1\}\\ \bar{Y}&= \{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=0\} \end{align}$

Y \cup \bar{Y} = {0, 1}^{n}

$Y\cup\bar{Y}=\{0,1\}^n$

Y \cap \bar{Y} = \emptyset

$Y\cap\bar{Y}=\emptyset$

\begin{aligned} P (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \\ ⇕ \\ P^{'} (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} P(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases}\\ &\Updownarrow\\ P'(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases} \end{align}$ therefore we always have

P + P^{'} = 1 \forall (y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n}

$P+P'=1\quad\forall(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n$

— Daniele Tampieri
источник

11

All good answers that provide the necessary justification in one way or the other. Since it is a tautology, it's hard to create a proof that doesn't just result in "it is what it is!". Perhaps this method help tackle it from yet another, broader angle:

Expand both statements to include their redundant cases, and the remove the repeated cases:

$𝑓=𝑤𝑥+𝑦𝑧\\ \ \ =wx\cdot(y'z'+y'z+yz'+yz)\ +\ yz\cdot(x'w'+x'w+xw'+xw)\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'+yzxw\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'$

and

$𝑓′=𝑤′𝑦′+𝑤′𝑧′+𝑥′𝑦′+𝑥′𝑧′\\ \ \ \ = w'y'\cdot(x'z'+x'z+xz'+xz)\ +\ 𝑤′𝑧′\cdot(x'y'+x'y+xy'+xy)\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′\cdot(w'z'+w'z+wz'+wz)\ +\ x′𝑧′\cdot(w'y'+w'y+wy'+wy)\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y'+𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy'+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′w'z'+x′y′w'z+x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′w'y'+x′𝑧′w'y+x′𝑧′wy'+x′𝑧′wy\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′wy$

I've kept the terms in consistent order to make the derivation more obvious, but they could be written alphabetically to be clearer. In any case, the point is that $f$ ORs seven 4-bit cases, and $f'$ ORs nine, distinct 4-bit cases. Together they OR all sixteen 4-bit cases, so reduce to $1$ .

— Heath Raftery
источник

4

+1 this is the only answer that is answering the true intention of the OPs question, which is to do some Boolean algebra rather than making theoretical arguments. But per my comment on the OP, note that a more elegant solution does exist; this problem can be solved without needing to add in the redundant cases.

— Mr. Snrub

I would very much like to see that as well. That is, if you have the time and the generosity to do it.t

— Carl

8

F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1,

A few minutes in excel shows it is indeed the case. You can use "NOT()" to invert between 0 and 1 in excel.

F = W * X + Y * Z

F' = W' * Y' + W' * Z' + X' * Y' + X' * Z'

As to why this is the case, If you want F to be false, e.g. setting W and Y low, you just made F' true. If you make X and Z low, you also made F" true, same for swapping there pairs.

— Reroute
источник

2

"F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1" . No, it doesn't. It merely means that you have to show that regardless of the output (which can only have two possibilities) and the corresponding output of its complement, the relation holds. The inputs are irrelevant, as is the function. The only truth table needed is the one showing the relationship between the output of the function and the output of anything qualifying as its complement.

— Chris Stratton

@ChrisStratton, that depends if the question is to show that the OR of a function and its complement is always 1 (which is trivial by definition of the complement) or to show that the proposed function F' is actually the complement of F. From OP's wording, I think they had a 2 part problem. Part A: find the complement function. Part B: show that it actually is the complement.

— The Photon

0

By simple definition of $+$ (OR) and $′$ (NOT)

 A | B | A + B
---------------
 0 | 0 |   0
 1 | 0 |   1
 0 | 1 |   1
 1 | 1 |   1

 A | A′| A + A′
----------------
 0 | 1 |   1
 1 | 0 |   1

$∴ ∀f. f + f′ = 1$

— OrangeDog
источник