Математическое моделирование RC цепи с линейным входом

8

Я нашел множество документов и книг, которые моделируют, как напряжение на конденсаторе ведет себя в переходной RC-цепи, используя следующее уравнение:

V_{C} = V_{M A X} (1 - e^{- t / R C})

$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$

К сожалению, я не нашел ни одного ресурса, в котором обсуждается, как математически смоделировать RC-цепь, в которой можно было бы использовать линейно увеличивающийся источник напряжения в качестве входа.

Попытка заменить VMAX в приведенном выше уравнении линейным уравнением приводит к уравнению, сходящемуся к линейному уравнению, означающему, что через некоторое время ток исчезнет (I = (VS-VC) / R). Это, очевидно, не соответствует действительности, так как мы должны видеть, что ток приближается к постоянному значению во времени, как указано в:

I_{C} = C \frac{d V}{d T}

$I_C=C\frac{dV}{dt}$

Я полностью осознаю, как напряжение на конденсаторе будет вести себя с линейно увеличивающимся источником напряжения, есть много симуляторов, которые отображают это, и я даже могу придумать физическое объяснение результатов. Я хочу знать, как можно математически смоделировать напряжение на конденсаторе с линейно увеличивающимся источником напряжения, аналогично уравнению, которое моделирует напряжение на конденсаторе в переходных процессах.

capacitor circuit-analysis equation

— CTXz
источник

3

Первое уравнение, которое вы используете, является частным решением для цепей серии RC с фиксированным источником напряжения с (предварительно) определенными начальными условиями. В вашем случае вы должны начать с рисования схемы, снова применив законы Кирхгофа и решить ODE. Таким образом, нет замен в неправильном конкретном решении .

— Huisman

1

Первое уравнение является результатом решения КВЛ для ступенчатой функции. Вы должны решить для случая рампы.

— Mattman944

Для общего входного сигнала и системы первого порядка необходимо решить дифференциальное уравнение, используя метод интегрирующего множителя .

— Чу

Ваше первое уравнение - это импульсная характеристика RC-цепи. Возьмите свертку импульсного отклика и вашу линейную функцию. Это даст вам выход схемы.

— user4574

13

К сожалению, я не нашел ни одного ресурса, в котором обсуждается, как математически смоделировать RC-цепь, в которой можно было бы использовать линейно увеличивающийся источник напряжения в качестве входа.

Этот ответ полностью о преобразовании схемы в передаточную функцию в частотной области с последующим умножением этого TF на преобразование Лапласа на входе, чтобы получить частотную область, эквивалентную выходу. Наконец, выполняется обратная операция Лапласа для получения формулы временной области для вывода.

Преобразование Лапласа низкочастотного RC-фильтра:

\frac{1}{1 + s R C}

$\dfrac{1}{1+sRC}$

Это передаточная функция в частотной области, поэтому, если вы умножите ее на эквивалентную для линейного изменения частотную область ( $\dfrac{1}{s^2}$ ) вы получите выход в частотной области:

\frac{1}{s^{2} (1 + s R C)}

$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$

При использовании обратной таблицы переноса по методу Лапласа во временной области выводится:

t + R C \cdot e^{(\frac{- t}{R C})} - R C

$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$

См. Пункт 32 в таблице, или, если в формуле не было очевидной записи в таблице, вы можете использовать калькулятор обратного лапласа, который решает его численно, как этот .

Калькулятор позволяет построить формулу и ввести числовое значение для RC. Я использовал значение RC 7 в приведенном выше примере, чтобы видеть, как это число распространяется на окончательный ответ. Последнее препятствие заменяет это распространенное значение 7 на RC. Другими словами, это числовое решение, но, тем не менее, очень полезный инструмент:

— Энди ака
источник

2

Отличное решение, но вы должны добавить константу для скорости линейного изменения. Возможно: vr = Vr * t

— Mattman944

@ Mattman944, может быть, я должен, но я предположил, что скорость составляет 1 вольт в секунду!

— Энди ака

Да, конечно, 1 В / с, но ОП, вероятно, хочет общее решение.

— Mattman944

3

@ Mattman944 Я думаю, что наше небольшое обсуждение даст достаточно подсказки для ОП.

— Энди ака

7

Для общего входного сигнала и системы первого порядка вы можете решить дифференциальное уравнение через интегрирующий коэффициент, $\small (IF)$ , метод * или преобразование Лапласа, среди других. Приведенный ниже анализ использует $\small IF$ метод.

$^*$ См. Редактирование ниже для объяснения метода интегрирующего фактора .

Учитывая схему, которую вы описываете, уравнение цикла:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Дифференцируя:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Перегруппировка:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Отмечая что $\small \tau=RC$ :

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

В вашем конкретном случае, $v_i$ является пандусом, таким образом: $v_i= \small Kt$ , где $\small K$ это наклон рампы.

следовательно $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$ и уравнение, которое должно быть решено $\small IF$ метод это:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

$\small IF$ является:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Следовательно:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Предполагая, что начальные условия равны нулю, $\small A=-KC$ отсюда:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

а также

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

Изменить: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка с помощью интегрирующего множителя ( $\small IF$ ) метод:

Для ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$ , где $\small P$ а также $\small Q$ являются функциями $\small t$ (которые могут быть постоянными), мы следуем шагам:

Определить интегрирующий фактор: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$
Общее решение тогда найдено, решая: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$ , где $\small A$ произвольная постоянная.
определить $\small A$ из начального условия или граничного условия, если известно.

Например, ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$ , с $\small y(0)=5$

Решение: мы определяем $\small P=2,\:Q=3$

Следовательно

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

следовательно

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Разделить на $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Применяя начальное условие:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$ ; следовательно $\small A=3.5$

Предоставление: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

— Чу
источник

3

(+1) Но вы должны объяснить свои аббревиатуры немного подробнее: что такое метод IF для решения дифференциального уравнения? Я не знаю эту аббревиатуру, и поиск в Google напрямую не показывает прямой связи. Просматривая ваши расчеты, я могу только догадываться, что вы имеете в виду «Интегрирующий фактор» , но я не думаю, что аббревиатура широко распространена, поэтому вам следует обратиться к источнику, чтобы сделать ответ более замкнутым (если ОП не знает Аббревиатуру или технику он вполне мог оставить, задаваясь вопросом, почему вы делаете то, что делаете).

— Лоренцо Донати - Codidact.org

@LorenzoDonati, спасибо за ваши комментарии. Я добавил редактирование метода интегрирующего фактора.

— Чу

2

Можно также добавить другой подход, основанный на рекомендации Чу:

Стандартная форма для линейного дифференциального уравнения первого порядка:

\frac{d Y}{d T} + п_{Икс} \cdot Y знак равно Q_{Икс}

$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$

Если вы можете настроить такие вещи, то ваш интегрирующий фактор (который является отличным способом решения этих проблем):

μ знак равно е^{\int п_{Икс} d Икс}

$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$

Тогда тогда решение:

Y знак равно \frac{1}{μ} \int μ \cdot Q_{Икс} d Икс

$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$

Предположим следующую схему:

schematic

^{смоделировать эту схему - схема, созданная с использованием CircuitLab}

Тогда из нодального вы получите:

\begin{aligned} \frac{В (T)}{р} + \frac{d В (T)}{d T} С & знак равно \frac{В_{s} (T)}{р} \\ \frac{d В (T)}{d T} + \frac{1}{р С} В (T) & знак равно \frac{В_{s} (T)}{р С} \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$

Который в стандартной форме, сейчас.

Так, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ а также $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$ , Таким образом, интегрирующим фактором является: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ а также:

\begin{aligned} В (T) & знак равно е^{^{\frac{- T}{р С}}} \int е^{^{\frac{T}{р С}}} \frac{1}{р С} \cdot В_{s} (T) d T \\ знак равно \frac{1}{р С} \cdot е^{^{\frac{- T}{р С}}} \int В_{s} (T) е^{^{\frac{T}{р С}}} d T \end{aligned}

$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$

Вы должны быть в состоянии легко выполнить вышеизложенное, учитывая достаточно простой $V_s\left(t\right)$ , (Не забывайте свою постоянную интеграцию.)

— Йонк
источник

Я думаю, что вы должны быть более последовательными в использовании индексов или скобок, например

V_{t}

$V_t$ или

V (t)

$V(t)$

— Huisman

@Huisman Я согласен. Я сделаю изменения.

— Джон

0

то, что вы написали как Vmax, может быть изменено для вашего напряжения, которое меняется со временем, если оно не слишком много быстрее, чем постоянная времени конденсатора, оно должно дать вам достойную модель.

Если вам нужен более точный ответ, вы можете преобразовать входное напряжение Фурье / Лапласа и рассчитать реактивное сопротивление для конденсатора на каждой частоте, которую вы получаете, решить каждую и сложить их вместе, чтобы получить окончательное напряжение.

Второй вариант, который дает гораздо более точное решение, гораздо сложнее, чем первое, что я предложил, и которое может дать точное решение, только если напряжение возрастает гораздо медленнее, чем зарядка конденсатора.

изменить: как некоторые из упомянутых комментариев также возможно решить дифференциальное уравнение для рампы вместо шага.

— Juan
источник