Почему числа E-серии отличаются от степеней 10?

Номера серии E являются общими значениями, используемыми в резисторах. Например, значения E6:

• 1,0
• 1,5
• 2,2
• 3,3
• 4,7
• 6,8

Как видите, каждый на расстоянии около . Но мне интересно, почему они не являются степенями округленными до 2 значащих цифр.$10^\frac16$$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 не должно округляться до 3.3 независимо от округления вверх или вниз. И округляя до ближайшего числа, 4,6416 округляет до 4,6.

То же самое происходит в других значениях E-серии. Например, полномочия округленные до 2 значащих цифр:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

В то время как значения E12:

• 1,0
• 1.2
• 1,5
• 1,8
• 2,2
• 2,7
• 3,3
• 3,9
• 4,7
• 5,6
• 6,8
• 8,2

Числа 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 и 8.2 из E12 отличаются от их соответствующих вычисленных выше.

Так почему же E-ряды предпочтительных чисел отличаются от степеней 10, округленных до ближайшего числа?

Мне очень понравился твой вопрос, и я определенно поднял его. Ваш вопрос заставил меня задуматься и сделать дополнительное чтение по этой теме. И я действительно ценю то, что я узнал из этого процесса, и что вы стимулировали этот процесс для меня. Благодарность!

Исторический контекст

Я не собираюсь возвращаться сюда в вавилонские дни. (Вероятно, вся концепция уходит так далеко и дальше.) Но я начну около века назад.

Чарльз Ренар предложил несколько конкретных способов расстановки чисел для деления (десятичных) интервалов. Он сфокусировался на делении десятичного диапазона на 5, 10, 20 и 40 шагов, где логарифм каждого значения шага сформировал бы арифметический ряд. И они стали известны как R5, R10, R20 и R40. Конечно, есть много других вариантов, которые можно сделать. Но это были его, в то время.

Очевидно, что десятилетний диапазон можно разделить разными способами (и, кроме того, вам также не нужно фокусироваться на десятилетнем диапазоне). Одна идея расширения, которую я видел, использовала системы нумерации Renard R10 / 3, R20 / 3 и R40 / 3. Они были истолкованы как означающие, что вы будете полагаться на подход десятилетних серий R10, R20 и R40, но измените значения по три за раз. Так, например, R20 / 3 означает разработку чисел на основе R20, но выбирать только каждый 3-й член: ,$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$

Если вы хотите читать дальше, выше и многое другое можно найти в публикации под названием NBS Technical Note 990 (1978) . (Национальное бюро стандартов [NBS] теперь NIST.)

Между тем, после Второй мировой войны, был сильный толчок к стандартизации производимых деталей. Так что разные группы в разное время довольно усердно работали над «рационализацией» стандартных значений, чтобы помочь производству, инструментам, количеству зубьев шестерен и… ну, почти всему.

Просмотрите серию предпочтительных номеров E и запишите соответствующие документы и их историю. Тем не менее, документы, упомянутые на этой странице Википедии, не охватывают, как эти предпочтительные номера были выбраны. Для этого существует «ISO 497: 1973, Руководство по выбору серий предпочтительных чисел и серий, содержащих более округленные значения предпочтительных чисел». а также «ISO 17: 1973, Руководство по использованию предпочтительных номеров и серий предпочтительных номеров». У меня нет доступа к этим документам, поэтому я не смог их прочитать, несмотря на то, что, в частности, ISO 497: 1973 показался мне подходящим местом.

E-серия (геометрическая)

Я еще не нашел каких-либо подробностей о точном алгоритме, который был применен несколько десятилетий назад для вашего вопроса. Идея «рационализации чисел» не является сложной, но точный процесс, который был применен, намного превосходит мою способность быть уверенным в обратном проектировании. И я не смог раскрыть исторический документ, который раскрыл это. Некоторые из элементов могут быть обнаружены только при наличии полных документов, касающихся их окончательного выбора. И я еще не нашел эти документы. Но я уверен, что смог решить, каков был их процесс по вопросу резисторов.

Одна из вещей, упомянутых в NBS Pub. 990, тот факт, что различия и суммы предпочтительных чисел сами по себе не должны быть предпочтительными числами. Это попытка обеспечить покрытие для других значений в диапазоне десятилетий, когда явные значения не удовлетворяют потребности (используя два значения в сумме или разности).

Имейте в виду, что этот вопрос покрытия более важен для ряда, такого как E3 и E6, и почти не важен, например, для E24, который непосредственно содержит много промежуточных значений. Имея это в виду, я думаю об их мышлении следующим образом. Возможно, это не слишком далеко отклонится от реальных рассуждений об их процессе «рационализации» ценностей и принятия окончательного решения о предпочтительных ценностях, которые они в конечном итоге решили использовать.

Мои рассуждения

Существует очень хороший, простой лист для просмотра того, что суммирует значения E-серии для резисторов: Vishay E-Series .

Вот мое изображение двузначных значений E-серии, которое также включает в себя вычисленные значения:

Вот мой процесс, учитывая вышесказанное, который, я считаю, может быть, по крайней мере, похож на рассуждение, использованное много лет назад:

1. Идея покрытия наиболее важна для E3 и наименее важна для E24. Быстрый взгляд на E3 наводит на мысль о проблеме с округленными значениями 10, 22 и 46. Все они являются четными числами, и нет никакого способа составить нечетные числа, используя только четные числа. Так что одно из этих чисел должно измениться. Они не могут изменить 10. И для изменения одной, единственные оставшиеся две возможности: (1) 10, 22, 47; или (2) 10, 23, 46. Но вариант (2) имеет проблему: разница между 46 и 23 равна 23, что само по себе является числом в последовательности. И этого достаточно для исключения варианта (2). Это оставляет только вариант (1) 10, 22 и [47]. Так что это определяет E3. (Я буду использовать [] для окружения измененных значений последовательности и <> для окружения значений, которые должны быть сохранены из предыдущей последовательности.)
2. Для E6 он должен сохранить выбор значений E3, вставляя свои собственные значения между ними. Номинально, тогда E6 равен <10>, 15, <22>, 32, [47] и 68. Однако разница между 32 и 22 составляет 10, и это одно из значений, уже существующих в последовательности. Кроме того, 47 минус 32 равно 15. Опять же, 32 участвует в проблемной ситуации. Ни 22, ни 47 не могут быть изменены (они наследуются.) Таким образом, очевидный (и единственный) выбор состоит в том, чтобы настроить последовательность E6 на <10>, 15, <22>, [33], [47] и 68. Значения разностей и сумм теперь также обеспечивают покрытие .
3. Для E12 он должен сохранить выбор значений E6, вставляя свои собственные значения. Номинально, E12 составляет тогда <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> и 83. У числа 83 уже есть проблема, так как 83 минус 68 равен 15, и это уже в последовательности. 82 является ближайшей альтернативой. Кроме того, промежуток между 22 и 26 равен 4, а промежуток между 26 и 33 равен 7. Пролеты, грубо говоря, должны быть монотонно увеличиваться. Это серьезная ситуация, и единственный вариант - настроить 26 для следующего ближайшего выбора, 27. Последовательность теперь <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> и [82]. Но у нас снова есть проблема с 38, с предыдущим диапазоном 5 и следующим диапазоном 9. Опять же, единственное исправление для этого - настроить 38 на следующий ближайший выбор, 39.
4. E24 проходит аналогичный процесс. Начинается номинально как: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] и 91. Я думаю, что теперь вы можете применить логику, которую я применял ранее, и получить окончательный вариант последовательность (не отбрасывая <>, но оставляя индикатор []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] и 91.

Я думаю, вы согласитесь, что этот процесс является рациональным и ведет непосредственно к тому, что мы видим сегодня.

(Я не использовал логику, применяемую ко всем 3-значным значениям E-серии: E48, E96 и E192. Но я думаю, что уже достаточно и выше, и я верю, что все получится аналогично. Если вы найдете что-то по-другому Я тоже буду рада его осмотреть.)

Окончательный процесс рационализации в сторону предпочтительных чисел выглядит примерно так:

Выше вы можете увидеть соответствующие шаги и то, где были сделаны изменения, и как они затем переносятся (конечно, читая справа налево).

Примечания

• Сумма или разница предпочтительных чисел, как правило, по возможности избегают предпочтительного числа. Это необходимо для того, чтобы обеспечить максимально возможное покрытие .
• Произведение, или частное, или любая целая положительная или отрицательная степень предпочтительных чисел будет предпочтительным числом.
• Возведение в квадрат предпочтительного числа в серии E12 дает значение в серии E6. Точно так же возведение в квадрат предпочтительного числа в серии E24 дает значение в серии E12. И т.п.
• Взятие квадратного корня из предпочтительного числа в серии E12 дает промежуточное значение в серии E24, которого нет в серии E12. Аналогично, получение квадратного корня из предпочтительного числа в серии E6 дает промежуточное значение в серии E12, которого нет в серии E6. И т.п.

Вышесказанное совершенно верно при использовании теоретических значений, а не предпочтительных значений. (Предпочтительные значения были скорректированы, поэтому из-за этого будет некоторое отклонение, используя предпочтительные значения вместо точных значений.)

Интересный вопрос, который заставил меня покопаться и узнать некоторые из истории проблем и обоснования предпочтительных чисел, которые я не до конца осознавал.

Тогда спасибо!