Постоянная мощность разряда неидеального конденсатора

Мой работодатель продает повышающие преобразователи для удержания моторных приводов во время потери мощности. Эти повышающие преобразователи питаются от конденсаторных батарей. Для правильного определения размера этих банков нам необходимо учитывать их напряжение, емкость и ESR, чтобы обеспечить достаточную доступную энергию от конденсаторов для удержания накопителей в течение определенного времени при определенной мощности , Прямо сейчас мы делаем это методом аппроксимации, но было бы неплохо иметь более точное уравнение.

Мы предполагаем, что ESR, емкость и мощность нагрузки постоянны.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Если я прав, то это дает мне нелинейное дифференциальное уравнение, которое далеко уходит от моей математической зоны комфорта. Если я правильно понимаю, решение нового нелинейного дифференциального уравнения будет рассматриваться как значительный вклад в области математических знаний. Учитывая это, я вряд ли решу это самостоятельно.

Кто-нибудь знает какие-либо хорошие подходы для решения для V (t)? Кто-нибудь знает, было ли это уравнение уже решено? Возможно, я неправильно понимаю проблему? Или я должен переместить это в математический стек обмена?

— Стивен Коллингс
источник

Насколько точным ты должен быть? Количество энергии, потерянное для ESR, будет изменяться нелинейно в зависимости от напряжения питания, но можно легко рассчитать верхнюю и нижнюю границы для количества энергии, которое можно получить из крышки, когда оно падает от одного напряжения до некоторого более низкого напряжения; чем меньше рассматриваемая капля, тем ближе будут границы. Таким образом, если ограничение начинается с 50 вольт, можно рассчитать верхнюю и нижнюю границы того, сколько энергии будет восстановлено при падении с 50 до 40 вольт. Если разница между верхней и нижней границами слишком велика, можно рассчитать энергию ...

— суперкат

... так как он падает с 50 до 45, а затем с 45 до 40. Если разрыв с этими размерами шагов все еще велик, разделите дальше. Если бы все параметры были известны точно, то, вероятно, не пришлось бы делить слишком много, чтобы получить верхнюю и нижнюю границы в пределах примерно 20% друг от друга. Учитывая некоторую неточность в параметрах, вероятно, было бы бесполезным выходить за рамки этого.

— суперкат

На самом деле, я полагаю, у нас есть три вопроса. Это разрешимо? Если так, то как? Если нет, каков следующий лучший подход? Мы ищем точное решение уравнения, но если его нет, то вы можете описать хороший план резервного копирования.

— Стивен Коллингс

Вы можете попробовать смоделировать свою схему как идеальный конденсатор, резистор ESR и импеданс нагрузки - все последовательно. Решая для узловых напряжений и тока (которые все должны быть линейно независимыми), вы можете найти потери ESR в зависимости от потребляемой мощности нагрузки. Единственным препятствием была бы оценка Z_L, хотя я думаю, что вы сможете выяснить это путем обратного расчета того, какую номинальную мощность и допустимое падение напряжения вы ожидаете получить в своей конструкции.

— helloworld922

@Remiel: Обычно конденсаторы реального мира моделируют как комбинацию идеальных конденсаторов, резисторов и катушек индуктивности, и такая модель будет ближе к реальности, чем модель, которая просто ожидала, что реальная крышка будет вести себя как идеальная, но " идеальная неидеальная кепка »- это еще только приближение. В реальном мире ESR и емкость могут изменяться в зависимости от напряжения странным нелинейным образом. Уравнение, которое точно описывает поведение модели, может быть не более точным, чем моделирование в дискретном времени при прогнозировании фактического поведения реальной цепи.

— суперкат

Уравнения были решены другими здесь . Если я где-то не пропустил знак, эта формула дает время, которое требуется для достижения ограничителем внутреннего напряжения V, начиная с напряжения $V_{0}$ с заданным СОЭ и емкостью, а также с фиксированным разрядом мощности.

T (В) знак равно \frac{С}{4 п} (В_{0}^{2} - В^{2} + В_{0} \sqrt{В_{0}^{2} - 4 п р_{С}} - В \sqrt{В^{2} - 4 п р_{С}}) + С р_{С} (пер (В + \sqrt{В^{2} - 4 п р_{С}}) - пер (В_{0} + \sqrt{В_{0}^{2} - 4 п р_{С}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Обратите внимание, что, поскольку V - это внутреннее, ненагруженное напряжение крышки, «позади» ESR, чтобы найти время, необходимое для того, чтобы крышка достигла определенного напряжения на клеммах во время нагрузки , мы должны использовать замену:

В знак равно В_{м я N} + \frac{п р_{С}}{В_{м я N}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$ где

V_{m i n}

$V_{min}$ минимальное желаемое напряжение на клеммах.

Эти расчеты, по-видимому, хорошо соответствуют нашим методам численной оценки.

— Стивен Коллингс
источник