27

Скажем, у меня синус 1 кГц, поэтому нет высших гармоник, тогда мне нужно сэмплировать его как минимум с частотой 2 кГц, чтобы иметь возможность его восстановить.
Но если я сэмплирую на частоте 2 кГц, но все мои сэмплы находятся на пересечении нуля, то мой сэмплированный сигнал вообще не показывает синус, скорее, ЭКГ умершего пациента. Как это можно объяснить?

Это может быть расширено и до более высоких частот дискретизации. Если я сэмплирую более сложную форму волны на частоте 10 кГц, я должен по крайней мере получить первые 5 гармоник, но если форма волны такова, что выборки каждый раз равны нулю, то снова мы ничего не получаем. Это не надумано, это вполне возможно для прямоугольной волны с рабочим циклом <10%.

Так почему же критерий Найквиста-Шеннона кажется здесь недействительным?

analysis

— Федерико Руссо
источник

7

Критерий Найквиста является минимальным. Другие проблемы, такие как псевдонимы, могут потребовать более высокой выборки или других контрмер.

— drxzcl

Вот Это Да! 3 ответа на 6 просмотров!

— Федерико Руссо

@FedericoRusso У вас есть склонность задавать хорошие вопросы

— m.Alin

1

Коротко говоря: в вашем примере выборка синуса 1 кГц при 2 кГц совмещает сигнал с синусом 0 Гц, что приводит к смерти пациента!

— Фил

26

На самом деле вам нужна частота дискретизации чуть более 2 кГц для правильной выборки синусоидальных волн 1 кГц. Это не

f_{N} < f_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

f_{N} \leq f_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

PS Если вы перенесли свой сигнал в сложное пространство, где синусоида имеет вид где t - время, A - амплитуда, f - частота, а θ - сдвиг фазы,

v (T) знак равно A е^{J (2 π е T - θ)} знак равно A (соз (2 π е T - θ) + J грех (2 π е T - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

- это точка, где частота «сгибается», т.е. вы не можете отличитьfот-f. Дальнейшее увеличение частоты после отбора будет вычитать частоту выборки из них в случае чистой синусоиды.

е_{N} знак равно е_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

Non-Синусоида

В случае прямоугольной волны с частотой 1 кГц с коэффициентом заполнения, меньшей или равной 10%, которая дискретизируется при частоте 10 кГц, вы неправильно понимаете входной сигнал.

Сначала вам нужно будет разложить ваш сигнал на ряд Фурье, чтобы выяснить, каковы амплитуды компонентных гармоник. Вы, вероятно, будете удивлены, что гармоники для этого сигнала довольно велики за 5 кГц! (Эмпирическое правило третьей гармоники, равной 1/3 силы основного и 5-го, равного 1/5 основного, применимо только к прямоугольным волнам с коэффициентом заполнения 50% .)

Основное правило для сигнала связи заключается в том, что ваша сложная полоса пропускания совпадает с обратной величиной времени вашего наименьшего импульса, поэтому в этом случае вы рассматриваете минимальную полосу пропускания 10 кГц (от -5 кГц до 5 кГц) для рабочий цикл 10% с основной частотой 1 кГц (т.е. 10 кбит / с).

Итак, что вас испортит, так это то, что эти сильные гармоники высшего порядка будут складываться и мешать (конструктивно или деструктивно) вашим внутриполосным гармоникам, поэтому вполне ожидаемо, что вы не сможете получить хорошую выборку, потому что за Найквистом находится слишком много информации. группа.

— Майк ДеСимоне
источник

1

Это не объясняет второй пример, где частота выборки в 10 раз превышает частоту groung

— Федерико Руссо

Да, пропустил это. Добавил в мой ответ. Интересно подумать: провод категории 5e, который может передавать данные Gigabit Ethernet, имеет указанную полосу пропускания 100 МГц. Cat 6 работает на частоте 250 МГц, а Cat 7 - на частоте 750 МГц.

— Майк ДеСимоне

Так что это будет означать, что для амплитуды и фазы импульсного сигнала для каждой гармоники отображается отображение на зеркальную гармонику с точно такой же фазой, но инвертированной амплитудой?

— Федерико Руссо

@Federico: «перевернуть» в данном случае означает отражение частоты Найквиста. Так что, если вы производите выборку на частоте 10 кГц и пытаетесь сэмплировать синус на 11 кГц, вы получите выход 9 кГц. Попробуйте сэмплировать 13 кГц, и вместо этого вы получите 7 кГц.

— эндолит

1

Для последнего комментария, пример, когда вы смотрите на автомобили по телевизору: когда скорость вращения приближается к кратности частоты кадров, колесо кажется замедленным, пока оно не остановится, а затем начинает вращаться в противоположном смысле.

— Clabacchio

8

Майк объясняет это хорошо: это псевдоним, который заставляет гармоники исчезать в дискретизированном сигнале, сворачивание более высоких частот от до . При работе с дискретными сигналами вы всегда должны отфильтровывать что-либо выше . $F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

введите описание изображения здесь

В этом спектре синяя часть - это спектр сигнала вашей основной полосы от до . (См. Этот вопрос об отрицательных частотах). Обратите внимание , что этот спектр повторяется вокруг каждого кратного . В этом примере нет проблем; исходный сигнал отделен от изображений и может быть восстановлен. $-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

введите описание изображения здесь

В этом примере (показаны только положительные частоты) мы можем видеть, что сигнал основной полосы выходит за пределы . Из-за складывающихся псевдонимов перекрываются с нашим базовым сигналом, и мы никак не можем отфильтровать их снова. Вот почему вам нужен (острый) фильтр нижних частот. $F_S / 2$

Теперь вы можете сказать, что импульс будет выглядеть совершенно иначе после фильтрации нижних частот, и это правильно, но если вы не хотите, чтобы вы выбрали слишком низкую частоту дискретизации. (Для прерывистого сигнала, такого как импульс, который имеет бесконечный спектр, вы всегда будете иметь искажения, независимо от вашего ). Помните, что вы можете восстановить сигнал только для частот, меньших, чем . $F_S$ $F_S / 2$

— stevenvh
источник

1

+1 за картинки. Сделайте это намного яснее.

— Федерико Руссо

Yay картинки! Я должен использовать их чаще, но я слишком увлекаюсь искусством ASCII. В любом случае, все перекрытия на рисунке 2 могут быть использованы, если используемые вами частоты полностью находятся внутри неперекрывающейся части, но это не распространено за пределами сигма-дельта-модуляции.

— Майк ДеСимоне

В некоторых случаях может быть допустимо пропустить материал сэмплирования, который выше Fs / 2, если после сэмплирования удалят все, что находится на частотах с псевдонимами. Например, если кто-то хочет получить сэмплированный звук на частоте 8000 Гц, но не отфильтровывать вещи ниже 3500, может быть сложно создать такой резкий фильтр с использованием аналоговых схем. С другой стороны, если начать с выборки на частоте 16 000 Гц и отфильтровывать данные выше 4000 Гц, то понадобится только аналоговый фильтр, который ослабляет частоту выше 12 кГц, сохраняя частоту ниже 4 кГц. Что-нибудь между 4-12 кГц было бы псевдонимом до 4-8 кГц.

— Суперкат

@supercat - Ваш фильтр сглаживания всегда должен быть аналоговым. Я согласен с вашей точкой зрения об аналоговом фильтре, но цифры, которые вы используете, неверны. 4-12 кГц будет псевдонимом 4-12 кГц, а не 8 кГц. (Это легко увидеть, если вы проверите пропускную способность, которая должна быть равна.)

— stevenvh

@stevenvh: Как правило, результат выборки описывается исключительно в терминах частот Найквиста или ниже, я думаю, хотя каждая частота ниже Найквиста будет совмещена с частотой между Найквистом и частотой дискретизации. Я хочу сказать, что если кто-то планирует цифровую фильтрацию чего-либо выше 4 кГц, не нужно беспокоиться о том, что частоты в диапазоне от 8 кГц до 12 кГц вернутся в диапазон 4 кГц-8 кГц; так как они все равно будут отфильтрованы. Почти всегда нужен какой-то аналоговый фильтр сглаживания, но во многих случаях избыточная выборка может значительно ослабить требования. Это ...

— суперкат

1

Теорема в порядке. Ваш сигнал НЕ должен содержать частоты, равные или превышающие половину частоты дискретизации, согласно Nyquist. Шеннон, вероятно, допускает это, но это его версия теоремы, которая, вероятно, вызывает неоднозначность на критической частоте.

Редактировать (Re: downvoting для краткого ответа?): Я не вижу необходимости объяснять сам метод выборки. Речь идет о путанице «критическая частота включена в полосу или нет», и если формулировка теоремы Шеннона содержит ошибку. Это действительно так (как я вижу в мире вики). Или, скорее всего, авторы вики процитировали его слово неточно. И, кстати, в 20-м веке этой самой теоремы есть 4 независимых автора, поэтому путаница любого, кто изучает идею из случайных источников, может усугубиться.

Если ваш вход сэмплирования не имеет какого-либо фильтра нижних частот, ничего не следует фильтровать; все гармоники должны сворачиваться и потенциально мешать друг другу. Некоторые современные радиостанции используют частотное свертывание Найквиста в качестве переключателя диапазонов, используя широкополосный АЦП с полосовым фильтром на передней панели.

— Майк ДеСимоне

@Mike DeSimone: Спасибо, что объяснили эффект псевдонима, но опять же, вопрос не о «окончании полосы», не о «внутриполосной» или «внеполосной» реконструкции.

0

$N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$ $t$

Но согласно Википедии:

В сущности, теорема показывает, что дискретизированный аналоговый сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть идеально восстановлен из бесконечной последовательности выборок, если частота дискретизации превышает 2 В выборок в секунду, где B - самая высокая частота в исходном сигнале.

Таким образом, частота дискретизации, равная удвоенной частоте, является неправильной - она должна быть чуть больше, чем удвоенная частота. Таким образом, последовательные выборки захватывают немного разные части формы сигнала.

— Majenko
источник

Как я и сказал Майку: это не объясняет второй пример, где частота выборки в 10 раз превышает частоту groung

— Федерико Руссо,

Прямоугольная волна имеет невероятно высокие гармоники. Найквист утверждает, что это чуть более чем в 2 раза больше, чем самая высокая частота. Самая высокая частота может быть в сотни, если не в тысячи раз выше, чем 50% рабочего цикла.

— Майенко

Это также для непрерывного сигнала - прямоугольная волна с широтно-импульсной модуляцией с коэффициентом заполнения 10% не является непрерывной. Можно сказать, что 50% ШИМ является непрерывным сигналом для самой низкой частоты (скважность), но не для более высоких частот.

— Майенко

@Matt - каждый сигнал является непрерывным для самой низкой частоты, так как все составляющие частоты являются синусами, согласно Фурье. Также вполне возможно сделать пульс Федерико непрерывным, и при этом иметь тот же результат выборки.

— Стивенвх

0

При выборке с определенной частотой F каждый частотный компонент f будет генерировать псевдонимы вида kF + f и kF- f для всех целочисленных значений k. При обычном использовании частотные компоненты выше F / 2 при дискретизации сигнала отсутствуют, поэтому единственными компонентами в диапазоне от 0 до F / 2 будут те, которые присутствовали в исходном сигнале. После выборки компоненты сигнала будут выше F / 2 (генерируются как псевдонимы из приведенных ниже). Наиболее проблемным из них для любой частоты f в исходном сигнале будет тот, что на частоте F- f .

Обратите внимание, что в качестве частоты Fприближается к F / 2 снизу, первая частота псевдонимов приближается к F / 2 сверху. Если на входе присутствует сигнал с частотой F / 2-0,01 Гц, на частоте F / 2 + 0,01 Гц будет псевдоним - чуть выше 0,02 Гц. Разделение исходных сигналов и сигналов псевдонимов теоретически возможно, но на практике это сложно. Выбранная форма волны будет отображаться как сумма двух волн одинаковой силы почти одинаковой частоты. Таким образом, его амплитуда будет изменяться в зависимости от относительной фазы высокочастотных волн. В случае, когда входная частота равна F / 2, частота псевдонима также будет точно F / 2. Поскольку не будет никакого разделения частот между оригиналом и псевдонимом, разделение будет невозможно. Фазовое соотношение между исходным и алиасовым сигналами будет определять амплитуду результирующего сигнала.

— Supercat
источник

Озадаченный частотой Найквиста

Non-Синусоида