Отрицательные частоты: что это?

Я знаю, что когда частота равна 0, напряжение будет чистым постоянным током. Но в DSP и Digital Communication я видел упоминание об отрицательных частотах, которые я не совсем понимаю. Например, например, от до диапазона частот. Как частота может стать отрицательной?$-f_{0}$$f_{0}$

Вывод из

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

все очень мило и такое (спасибо, Марк), но это не очень интуитивно понятно.
Синус может быть представлен в комплексной плоскости как вращающийся вектор:

Вы можете видеть, как вектор состоит из действительной и мнимой частей. Но то, что вы видите, когда смотрите, как сигнал на вашем прицеле является реальным сигналом, так как вы можете избавиться от мнимой части, чтобы вектор оставался на оси X, увеличиваясь и уменьшаясь? Решение состоит в том, чтобы добавить зеркальное отображение вращающегося вектора, вращающегося по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.

Мнимые части имеют одинаковую величину, но противоположные знаки, поэтому, когда вы добавляете оба вектора, мнимые части компенсируют друг друга, оставляя чисто реальный сигнал.
Если вращение против часовой стрелки означает положительную частоту, вращение по часовой стрелке означает отрицательную частоту.

Это не может на самом деле.

Полный ответ занял бы весь учебник, но основной ответ:

$e^{j\omega t}$

Это приводит к формуле Эйлера:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Что приводит к обратному:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

Что подразумевает наличие как положительной, так и отрицательной частоты, и именно здесь она появляется в обсуждении обработки сигналов.

Так, как я это вижу:

$e^{i\omega t}$

Он также может быть нарисован менее интуитивно, как это (левая сторона), и имеет односторонний спектр, подобный этому (правая сторона):

Отрицательная частота означает, что спираль вращается в противоположном направлении, а спектр представляет собой дельта-функцию на отрицательной стороне частотной оси.

Если вы добавите сложную синусоиду положительной частоты с одной и той же, но отрицательной частотой, воображаемые части, вращающиеся в противоположных направлениях, погаснут, и получится настоящая синусоида.

В этом случае бессмысленно говорить о синусоиде с отрицательной частотой, поскольку синусоида содержит как положительные, так и отрицательные частоты.

(Я действительно хотел бы сделать более качественные иллюстрации этого, вместо того, чтобы копировать эти старые некачественные, но я попробовал, и это не легко. Я думаю, что трехмерная диаграмма спектров выше на самом деле неверна. Дельта функции должны быть параллельны реальной / воображаемой плоскости и перпендикулярны оси частот.)