Покажите, что - броуновская прямая мера

Определения и прочее:

Рассмотрим отфильтрованное вероятностное пространство где $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$

$T > 0$ $T > 0$
$P = \tilde{P}$ $\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$

Это нейтральная к риску мера .

$F_{t} = F_{t}^{W} = F_{t}^{\tilde{W}}$ $\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$

где является стандартным -браунское движение. $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$

Рассмотрим где $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$

M_{t} := \frac{\exp (- \int_{0}^{t} r_{s} d s)}{P (0, t)}

$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$

Определите прямую меру : $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} := M_{T} = \frac{\exp (- \int_{0}^{T} r_{s} d s)}{P (0, T)}

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$

где - процесс короткой ставки, а - цена облигации в момент времени t. $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

Можно показать, что является мартингалом где динамика цен облигаций определяется как: $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t}

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$

где

$r_t$ и $\xi_t$ являются $\mathscr F_t$ -адаптированными
$\xi_t$ удовлетворяет условию Новикова (я не думаю, что должен представлять что-то конкретное) $\xi_t$

Проблема:

Определите случайный процесс st $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$W_{t}^{Q} := W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s$ $W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$
Используйте теорему Гирсанова для доказательства:

$W_{t}^{Q} is standard Q -Brownian motion.$ $W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$

Что я пробовал:

Поскольку удовлетворяет условию Новикова, $\xi_t$

\int_{0}^{T} ξ_{t} d t < \infty a.s. \to \int_{0}^{T} - ξ_{t} d t < \infty a.s.

$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$

\to L_{t} := \exp (- \int_{0}^{t} (- ξ_{s} d W_{s}) - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ξ_{s}^{2} d s)

$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$

является мартингал. $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

По теореме Гирсанова,

W_{t}^{Q} is standard P^{*} -Brownian motion, where

$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$

\frac{d P^{*}}{d P} := L_{T}

$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$

Я предполагаю, что у нас есть - стандартное -Brownian Motion, если мы можем показать, что $W_t^{\mathbb Q}$ $\mathbb Q$

L_{T} = \frac{d Q}{d P}

$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$

Я потерял свои заметки, но я думаю, что смог показать, используя лемму Ито, что

$d L_{t} = L_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dL_t = L_t \xi_t dW_t$
$d M_{t} = M_{t} ξ_{t} d W_{t}$ $dM_t = M_t \xi_t dW_t$

Из тех, что я делаю вывод, что

d (\ln L_{t}) = d (\ln M_{t})

$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$

\to L_{t} = M_{t}

$\to L_t = M_t$

\to L_{T} = M_{T}

$\to L_T = M_T$

QED

Это правильно?

— BCLC
источник

Почему цена облигации дисконтируется по короткой ставке как P-мартингейл? Ваша цена облигации является обобщенной GBM. Запишите его как экспоненту диффузии Ито, следует заметить, что дисконтирование по короткой ставке не учитывает поправку Ито.

— Майкл

@ Майкл, ты уверен, что имеешь в виду P как нейтральный к риску, а не P как в реальном мире?

— BCLC

Да я вижу. Если вы решите SDE для как экспоненту Ито, а затем подставите в , вы увидите, что теорема Гирсанова применяется немедленно. Кроме того, и не совпадают в настройках Ito. В вашем аргументе следует вместо этого ссылаться на уникальность сильных решений SDE.

P_{t}

$P_t$

M_{T}

$M_T$

\frac{d L}{L}

$\frac{dL}{L}$

d \ln L

$d \ln L$

— Майкл,

@ Майкл Спасибо! Какая часть аргумента точно?

— BCLC

(Глядя на вопрос и обозначения, используемые более внимательно, формулировка кажется проблемной в нескольких местах.)

Общий факт

Пусть - стандартное броуновское движение относительно фильтрации . Рассмотрим определенный как В общем случае является супер-мартингалом. При некоторых условиях (например, условие Новикова) является мартингалом, и можно определить меру вероятности помощью В процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации $W$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ $(L_t)_{t \in [0,T]}$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ψ_{t} d L_{t}, L_{0} = 1.

$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$

L_{t} = e^{\int_{0}^{t} ψ_{s} d W_{s} - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} ψ_{s}^{2} d s}

$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$

L_{t}

$L_t$

Q

$\mathbb{Q}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t}^{Q} = W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Неофициальное указание, почему это так, заключается в следующем. Рассмотрим . По теореме Байеса является -мартингалом тогда и только тогда, когда является -мартингалом. поскольку $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ $W^{\lambda}$ $\mathbb{Q}$ $L W^{\lambda}$ $\mathbb{P}$

\begin{aligned} d L W^{λ} & = L d W^{λ} + W^{λ} d L + d L d W^{λ} \\ = L (ψ + λ) d t + (\dots) d W, \end{aligned}

$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$

мы должны иметь , чтобы был -браунским движением.

λ = - ψ

$\lambda = - \psi$

W^{λ}

$W^{\lambda}$

Q

$\mathbb{Q}$

Цена со скидкой как плотность вероятности

Неявные предположения состоят в том, что существует базовый актив, цена которого следует за по нейтральной для риска мере . короткой скорости и волатильности адаптированы с достаточной регулярностью, так что интегралы существуют. (Чтобы это было правдой, броуновская фильтрация, генерируемая при нейтральной мере риска, должна быть такой же, как и при броуновском физическом движении под физической мерой, поэтому применима теорема о представлении Мартингейла.) $S_t$

\frac{d S_{t}}{S_{t}} = r_{t} d t + σ_{t} d W_{t}

$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$

P

$\mathbb{P}$

(r_{t})

$(r_t)$

σ_{t}

$\sigma_t$

(W_{t})

$(W_t)$

В этом броуновской настройке фильтрации, для любого времени претензии , риск-нейтральной динамика его цены принимает вид Процесс - это волатильность доходности как по физической, так и по нейтральной оценке риска. $T$ $X_T$ $X_t$

\frac{d X_{t}}{X_{t}} = r_{t} d t + ψ_{t} d W_{t} .

$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$

(ψ_{t})

$(\psi_t)$

X_{t}

$X_t$

Другими словами, нейтральная к риску динамика дисконтированной цены задается как (Цена со скидкой любого требования должна следовать мартингейлу при нейтральной оценке риска, без арбитража.) $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$

\frac{d M_{t}}{M_{t}} = ψ_{t} d W_{t}, M_{0} = X_{0} .

$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$

T

$T$

Если условие Новикова выполнено, то определяет плотность Радона-Никодима В процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации . $L_T = \frac{M_T}{M_0}$

\frac{d Q}{d P} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ψ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \psi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

Другими словами, дисконтированный выигрыш из любого -claim , нормируется ее время цена , можно рассматривать как плотность Радона-Никодима меры , В нейтральное к риску броуновское движение теперь имеет дрейф, определяемый волатильностью возврата . $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ $T$ $X_T$ $0$ $X_0$ $\mathbb Q$ $\mathbb Q$ $\frac{d X_t}{X_t}$

Если является ценой торгуемого актива, то является мартингалом . Это означает, что является мартингалом из . $(Y_t)$ $e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ $\mathbb P$ $(\frac{Y_t}{X_t})$ $\mathbb Q$

Прямая мера

Вперед мера является частным случаем выше , где является по времени цена нулевой купонной облигации с погашением в . В частности, . В выражении - волатильность доходности по облигации с нулевым купоном. $X_t = P(t,T)$ $t$ $T$ $X_T = P(T,T) = 1$

\frac{d P (t, T)}{P (t, T)} = r_{t} d t + ξ_{t} d W_{t},

$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$

ξ_{t}

$\xi_t$

(Если является детерминистическим, то , а мера форвардная аналогична меру нейтральной к риску. Облигация с нулевым купоном является рискованным активом, только когда короткая ставка является стохастической.) $(r_t)$ $\xi = 0$

Соответствующая мера определяется как Поскольку из общего обсуждения выше следует, что в процесс является стандартным броуновским движением относительно фильтрации . $\mathbb Q$

\frac{d Q}{d P} = \frac{e^{- \int_{0}^{T} r_{s} d s} P (T, T)}{P (0, T)} = L_{T} .

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$

\frac{d L_{t}}{L_{t}} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$

Q

$\mathbb{Q}$

W_{t} - \int_{0}^{t} ξ_{s} d s

$W_t - \int_0^t \xi_s ds$

(F_{t})_{t \in [0, T]}

$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

(В опубликованном вопросе мартингейл должен быть . в дисконтированных ценах нейтральная к риску мера.) $M_t$ $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

Эмпирические комментарии

Форвардная мера обладает тем свойством, что форвардные цены образуют -мартингал. $\mathbb Q$ $\mathbb Q$

Пусть является форвардная цена форвардного контракта , заключенного в со сроком погашения . При отсутствии арбитража (точечная прямая четность, в данном случае) который после дисконтирования является мартингалом . Таким образом, является мартингалом . $F(t,T)$ $t$ $T$

F (t, T) P (t, T) = S_{t}

$F(t,T) P(t,T) = S_t$

P

$\mathbb P$

F (t, T)

$F(t,T)$

Q

$\mathbb Q$

Поскольку форвардная цена движется обратно пропорционально . Прямая мера смещает массу вероятности в состояния, в которых дисконтированный доход по облигации с нулевым купоном высокий, таким образом, что противодействует движению в и поддерживает (условное) ожидание постоянным.

F (t, T) = \frac{S_{t}}{P (t, T)}

$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$

P (t, T)

$P(t,T)$

\frac{d (e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T))}{e^{- \int_{0}^{t} r_{s} d s} P (t, T)} = ξ_{t} d W_{t},

$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$

P (t, T)

$P(t,T)$

— Майкл
источник

Спасибо. оооочень я прав? или нет?

— BCLC

Ну, в твоей аргументации есть пробелы. 1. Состояние Новикова не указано правильно. 2. Предполагаемый процесс плотности RN определен неправильно. 3. После использования леммы Ито взятие логов - это хорошо, но результат уже следует из уникальности решений для SDE.

M_{t}

$M_t$

— Майкл

K спасибо Майкл!

— BCLC