$$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$

Предисловие

Этот вопрос связан с вопросом об эластичности межвременного замещения и с вопросом об определении абсолютного неприятия риска . (Это связано со вторым, поскольку определение относительного неприятия риска может быть мотивировано величиной, которая решает

$$U(C(1-RRA/2)) = \E[U(C(1-\epsilon))\mid C].$$

Вопрос

В этом вопросе я хочу узнать, как вычислить относительное неприятие риска предпочтений Эпштейна-Зина.

Пусть задана последовательность потребления $C=(C_0, C_1,...)$ и пусть $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Теперь предположим, что у меня есть настройки Эпштейна-Син,

$$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$$ где $f$ - агрегатор времени, а $q$ - условный оператор эквивалентности определенности. То есть $$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$$ и $$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$$ Как мне показать, что коэффициент относительного неприятия риска $\gamma$ ?

Ноты

Применение обычного определения относительного неприятия риска, по-видимому, требует осторожности. Если бы мы вычислили $RRA = -c u''(c)/u'(c)$ , нам нужно было бы быть осторожнее с временными индексами на $c$ . Вычисление этих производных по $C_t$ не даст нам правильного ответа. Вероятно, это должно быть

$$RRA = - C_{t+1} \left . \frac{\partial^2 U_t}{\partial C_{t+1}^2} \middle / \frac{\partial U_t}{\partial C_{t+1}} \right. .$$