Стохастический рост в непрерывном времени

Литература: см. Chang (1988) для теоретической части и Achdou et al. (2015) для числовой части соответственно.

модель

Рассмотрим следующую стохастическую задачу оптимального роста в обозначениях на душу населения. все стандартно, за исключением который является приращение стандартного винеровского процесса, т.е. . Скорость роста населения имеет среднее значение и дисперсию .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Аналитическое решение

Мы предполагаем, что технология Кобба-Дугласа

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

и утилита CRRA Настройка Гамильтона-Якоби - уравнение Беллмана (HJB-e)

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

Условие первого порядка (FOC) читается как где обозначает функцию политики.

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

Восстановить FOC в HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Мы предполагаем функциональную форму с помощью ( Posch (2009, уравнение 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

где - некоторая постоянная Производные и первого порядка задаются как $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Затем HJB-e читает

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

Максимальное значение HJB-e истинно, если выполняются следующие условия

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Повторно подставьте в которое в итоге дает функцию истинного значения $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Как получилось, что не зависит от ? $v$ $\sigma$

Таким образом, детерминированная и стохастическая функция значения должны быть одинаковыми. Тогда функция политики легко определяется как (используйте FOC и производную от значения)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Обратите внимание, что эта функция также не зависит от . $\sigma$

Численное приближение

Я решил HJB-е по схеме против ветра. Погрешность . На рисунке ниже я изображаю функцию политики для переменной . От я прихожу к истинному решению (фиолетовый). Но для приближенная функция политики отличается от истинной. Что не должно быть так, поскольку не зависит от , верно? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Может ли кто-нибудь подтвердить, что приближенные функции политики должны быть одинаковыми для любой , поскольку истинная функция не зависит от ? $\sigma$ $\sigma$

— невежественный
источник

Что меня беспокоит, так это первое условие «iff» после того, как вы напишите «максимизированный HJB-e истинен, если выполняются следующие условия»: это очень специфическое отношение равенства, которое должно выполняться между всеми параметрами параметров предпочтения модели , рост населения, производительность капитала и волатильность. Интересно: можем ли мы действительно работать с угаданными функциями, валидность которых зависит от такого очень узкого условия на параметры?

— Алекос Пападопулос

Что ж, здесь я на самом деле исправляю как функцию от четырех оставшихся параметров. Таким образом, уравнение всегда верно, если, кроме того, имеет место. Интересно: есть ли какое-то правило, когда угадывание функции не разрешено? Я имею в виду, что мы заинтересованы в поиске истинного решения, и в некоторых конкретных условиях мы получаем истинное решение. Я не уверен, что вас беспокоит здесь с теоретической точки зрения? Конечно, это может ограничивать эмпирическую работу, но здесь дело не в этом. Мы довольно заинтересованы в решении HJBe, и это может быть сделано. Если эмпирик (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— невежествен

оценивает и мы находим, что условие нарушается, тогда мы можем отклонить модель. Однако решение остается верным в принципе. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— невежествен

Моя забота не об эмпирической достоверности. Что мне интересно, так это то, в какой степени конкретное предположение о функциональной форме функции значения зависит от этого отношения между параметрами. Без ссылки на какие-либо эмпирические данные, если предположить, что отношение не выполняется, что тогда? Должны ли мы угадать функцию значения, которая даже не экспоненциально по , или достаточно будет сохранить экспоненциальную структуру, но попробовать другие способы включения в нее параметров? (кстати, я также изучаю ваш главный вопрос, поскольку эта дискуссия, вероятно, является

k

$k$

— второстепенной

Вы уверены, что проблема оптимизации сформулирована правильно? Нет, например, ожидания оперируемого, скажем, ? Как указано сейчас, и, следовательно, вероятно, принимают любое значение, заданное винеровским процессом .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Ганс

Больше комментария:

В постановке задачи должен быть оператор ожидания, иначе проблема не имеет смысла.

То, что «... детерминистическая и стохастическая функция значения должны быть одинаковыми ...» не совсем верно. Значение имеет решающее значение в ограничении $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Если , то, вероятно, для экономически обоснованных и , и в этом случае детерминированная проблема может быть некорректной. Что верно, так это то, что функция стохастического значения принимает заданную форму, только если выполняется ограничение параметра. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Выносим термин Ito с правой стороны $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

ограничение может быть записано как

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

С правой стороны мы имеем эластичность члена межвременного замещения и члена отвращения к риску . Ограничение говорит о том, что при определенном выборе они компенсируют друг друга, вплоть до предпочтения времени и смещения . Поэтому функция значения не зависит от . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

То, что функция значения не зависит от является артефактом ограничения и выбора CRRA . В общем, не правда. $\sigma$ $u$

— Майкл
источник