Контекстно-зависимая грамматика для SAT?

Классическим результатом Куроды является то, что класс сложности NSPACE [ ]$n$ (также известный как NLIN-SPACE) является именно классом CSL контекстно-зависимых языков . Задача выполнимости SAT находится в NSPACE [ ], так как предположение линейного размера для решения может быть проверено не более чем с линейной величиной накладных расходов для учета. Это означает, что SAT должен иметь контекстно-зависимую грамматику (CSG).$n$

Кто-нибудь пытался предоставить CSG для SAT?

Я понимаю, что многие вопросы, связанные с CSL, неразрешимы (например, решение, генерирует ли данный CSG пустой язык). Даже при наличии CSG для SAT все равно придется преодолеть препятствие, заключающееся в том, что решение о членстве на языке, указанном в CSG, в целом является PSPACE-полным. Но может случиться так, что проблема членства для CSG, которая определяет SAT, находится в NP, из-за некоторой особой структуры языка. Перефразируя, обращаясь к комментарию MCH: Но может быть так, что проблема членства для CSG, которая определяет SAT, может быть показана в NP из-за некоторой специальной структуры грамматики, а не потому, что мы уже знаем, что она должна быть в NP.

• S.-Y. Курода, Классы языков и линейно-ограниченные автоматы , Информация и управление 7 (2) 207–223, 1964. doi: 10.1016 / S0019-9958 (64) 90120-2

Разъяснение:

Предполагаемый фокус здесь - это особенность грамматики для SAT, которая позволяет распознавать ее на машине NTIME [poly ( )], а не на границе NSPACE [ n ] ⊆ DTIME [ 2 O ( n ) ].$n$$n$$\subseteq$$2^{O(n)}$

Доказательство теоремы 3 в работе Ландвебера 1963 года строит CSG из линейно ограниченного автомата. (Курода предоставил обратное, построив линейно-ограниченный автомат для любой CSG.) Однако процедура Ландвебера, по-видимому, не дает грамматику для SAT, которая имеет особую форму: все распознаватели NSPACE [ ] обрабатываются одинаковым образом. Другими словами, неясно, почему в SAT CSG должна быть проблема членства в NP, а не PSPACE-полная. Я надеялся на более явную конструкцию, которая использует NP-ность SAT каким-то существенным образом.$n$

Возможно, лучше, более точный вопрос:

1. существует линейно ограниченный автомат, который распознает SAT,
2. из которого можно извлечь CSG,
3. так что язык, определенный CSG, находится в NP из-за некоторой особенности грамматики (а не потому, что мы уже знаем, что это в NP)?

За прошедшие пять десятилетий наверняка кто-то пытался сделать это! Поскольку я не могу найти что-либо опубликованное по этим направлениям, мне было бы интересно понять, почему этот подход не работает, или указатель на работу, который я пропустил.

• Питер С. Ландвебер, Три теоремы о грамматиках структуры фраз типа 1 , Информация и управление 6 (2) 131–136, 1963. doi: 10.1016 / S0019-9958 (63) 90169-4

Несмотря на то, что непосредственно не создается контекстно-зависимая грамматика для SAT, следующая статья может пролить некоторый свет.

Раунды WC, Сложность распознавания в языках среднего уровня , Теория коммутации и автоматов, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/10.1109/SWAT.1973.5

Статья Раунда дает однонаправленный недетерминированный стековый автомат (1-NSA), распознающий SAT, а затем показывает, что проблема принадлежности 1-NSA (и его надлежащего надмножества, индексированная грамматика Aho) в общем случае в NP. Другими словами, SAT как CSL / linear-bounded-автоматы особенные в том смысле, что они используют свою память только как стек.