Какова «реальная» причина того, что IP = PSPACE является нерелятивизирующим?

$O$ ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ $O$

Тем не менее, я видел только несколько человек, которые дают «прямое» объяснение того, почему результат не релятивизируется, и обычный ответ - «арифметизация». После проверки доказательства IP = PSPACE этот ответ не является ложным , но он не является удовлетворительным для меня. Кажется, что «реальная» причина прослеживается в доказательстве того, что задача TQBF - истинная квантифицированная логическая формула - является полной для PSPACE; Чтобы доказать это, вам нужно показать, что вы можете кодировать конфигурации машины PSPACE в формате полиномиального размера, и (это кажется нерелятивизирующей частью) вы можете кодировать «правильные» переходы между конфигурациями в полиномиальном размере логическая формула - здесь используется шаг в стиле Кука-Левина. ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$

Интуиция, которую я разработал, заключается в том, что нерелятивизирующие результаты - это результаты, которые бьют по мелочам Тьюринга, и на шаге, где показано, что TQBF завершен для PSPACE, и происходит такое возмущение - и этап арифметизации может произошло только потому, что у вас была явная логическая формула для арифметики.

Мне кажется, это является основной причиной того, что IP = PSPACE является нерелятивизирующим; и фольклорная мантра о том, что методы арифметизации не релятивизируются, кажется побочным продуктом этого: единственный способ арифметизировать что-то - это если у вас есть логическая формула, которая кодирует что-то о ТМ в первую очередь!

Я что-то упускаю? В качестве подвопроса - означает ли это, что все результаты, которые каким-либо образом используют TQBF, также не релятивизируются?

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— Генри Юн
источник

Вы можете включить ворота оракула в количественную булеву формулу, и тогда такой релятивизированный TQBF ^ O будет завершен для PSPACE ^ O, так что это не нерелятивизирующий шаг.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Привет, Эмиль. Не могли бы вы рассказать подробнее? Допустим, у меня есть машина M, и я пытаюсь выполнить то же доказательство того, что L (M) (язык, принятый M) сводится к (что бы ни ). В конце концов мне придётся придумать булеву формулу, которая выражает, являются ли две конфигурации C, C 'машины-оракула M соседними (для любых двух конфигураций C, C'). Как я могу гарантировать, что независимо от оракула эта логическая формула имеет конечный размер, не говоря уже о полиномиальном размере? Например, O может закодировать проблему остановки.

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Генри Юн

Я думаю, что я мог бы отодвинуть это еще дальше - релятивизируется ли сама теорема Кука-Левина ? По тем же причинам, упомянутым выше, я не думаю, что это так. Относится ли релятивизация к теореме Кука-Левина и релятивизирует ли доказательство полноты PSPACE для TQBF.

— Генри Юн

Формула QBF ^ O может, помимо обычных квантификаторов и логических связок, также использовать новые неограниченные веерные вентили, назовем их , семантика которых заключается в том, что тогда и только тогда строка принадлежит к оракулу . Выражение на этом языке того, что одна конфигурация является преемницей другой, является простым упражнением, поскольку вы можете просто вставить содержимое ленты запроса оракула в . (Я предполагаю, что машина PSPACE может выполнять полиномиально длинные запросы.)

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Я вижу - вы говорите, что когда вы релятивизируете доказательство полноты TQBF в PSPACE, вы не только релятивизируете машины в игре, но вы также релятивизируете сами булевы формулы (так что они больше не являются булевыми формулами в строгом смысле). ). В этом случае я могу понять, почему шаг арифметизации сломался. Благодарность! Возможно, вы можете написать это как ответ.

— Генри Юн

Любой ответ на вопрос формы «Какова реальная причина этого…» обязательно будет несколько субъективным. Тем не менее, для конкретного случая IP = PSPACE, я думаю, что можно привести довольно хороший пример того, что арифметизация действительно является ключом, наблюдая, что хотя IP = PSPACE не релятивизируется , он алгебрирует в смысле Ааронсона и Вигдерсона . Как они объясняют в своей статье, грубо говоря, включение класса сложности алгебризирует, если для всех оракулы и все расширения низкой степени из ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ $A$ , В частности, они показывают, что включение PSPACE IP алгебрирует, даже если оно не релятивизируется. $\subseteq$

Интуиция, которую я разработал, заключается в том, что нерелятивизирующие результаты - это те, которые бьют по мелочам Тьюринга.

Это не плохая интуиция, но я думаю, что результат Ааронсона-Вигдерсона показывает, что доказательство IP = PSPACE показывается довольно ограниченным образом и, конечно, не достаточно изощренным способом доказать P NP, так как Ааронсон и Вигдерсон также показывают, что неалгебризационные методы потребуются для отделения P от NP. $\ne$

— Тимоти Чоу
источник

Спасибо за ссылку. Позвольте мне понять, понимаю ли я это: то, что вы - и статья Ааронсона / Вигдерсона - похоже, утверждаете, - это то, что «арифметизация» является слабо нерелятивизирующим шагом и что крошечное, естественное изменение понятия релятивизации (а именно, алгебраическая релятивизация) нарушит это свойство. Поскольку остальные доказательства IP = PSPACE являются релятивизирующими (и я убежден тем, что сказал Эмиль выше), это означает, что сам результат IP = PSPACE очень слабо нерелятивизирующий, как вы и сказали. Очень интересно! Благодарю. Мне нужен способ принять оба ответа :)

— Генри Юн

Да, это в основном правильно.

— Тимоти Чоу