Функциональная полнота 3-значной логики

В контексте некоторых недавних работ мы определили язык, основанный на трехзначной логике а-ля Клини, где $1$ означает истинное, $0$ за ложь и $\bot$ за ошибку или не знаю. Чтобы показать, что наш язык выразителен, мы хотели доказать, что мы можем построить функционально завершенный набор операторов.

Было довольно трудно найти существующие результаты в литературе. Мы нашли одну статью, написанную в 1962 году Джобе, в которой утверждается следующая теорема:

Джоб 1962 Теорема бумаги (ограниченный доступ).

Трехзначная логика $E$ выраженный по набору $\{1, 2, 3\}$ и определяется операторами $\bullet, E_1$ а также $E_2$ , приведенный ниже, функционально завершен.

$\begin{array}{cccccc} ∙ & 3 & 2 & 1 & Е_{1} & Е_{2} \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$ $\begin{array}{c|ccc|c|c} ~\bullet~ & ~3~ & ~2~ & ~1~ & ~E_1~ & ~E_2~ \\ \hline 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}$

В нашей статье мы использовали этот результат, показывая соответствие между нашими операторами и теми, которые определены Джобом (грубо говоря, мы используем сильное соединение, отрицание и оператор, который преобразует «не знаю» в «ложь»).

Моя главная проблема заключается в том, что я на самом деле не могу понять доказательство функциональной полноты Jobe, и мы не смогли найти какой-либо другой результат (положительный или отрицательный) после этой даты, что несколько удивительно.

Поэтому мой вопрос заключается в следующем: существуют ли еще какие-либо известные результаты о функциональной полноте 3-значных логик? Любая информация в этом направлении будет полезна.

reference-request lo.logic

— Чарльз
источник

3

$3$ -элементное поле функционально полно.

3

$3$ -элемент Пост алгебры функционально завершен.

— Эмиль Йержабек

@ EmilJeřábek Спасибо, я только что прочитал о логике троичной почты, и это, кажется, соответствует (хотя я также не могу найти много по этой теме). Хотели бы вы получить некоторые сведения о 3-элементном поле? Google немного слишком расплывчатый.

— Чарльз

Я не могу дать вам эталонную ссылку, но это простой факт: стандартная (многомерная) интерполяция подразумевает, что любая операция в конечном поле может быть выражена полиномом. Более того, если поле простое (например, здесь), то коэффициенты многочлена определяются постоянными членами (

1 + 1 + \dots + 1

$1+1+\cdots+1$ ). Таким образом, простые поля в языке

{+, \cdot, 1}

$\{+,\cdot,1\}$ функционально завершены.

— Эмиль Йержабек

Главы 5 и 6 книги [Функциональные алгебры на конечных множествах, Dietlinde Lau, 2006] содержат углубленную трактовку функциональной полноты в многозначной логике (включая доказательства). В заключение: Розенбергс [1965, 1970], характеризующий максимальные клоны (также называемые предварительными клонами), дает критерий функциональной полноты в k-значной логике для любого k.

Для частного случая 3-значной логики такая характеристика (состоящая из 18 максимальных / предполных классов) была дана Яблонским уже в 1954 году. Следовательно, чтобы проверить, что ваш набор 3-значных «операторов» функционально полон, он Достаточно проверить, что они не попадают ни в один из 18 незавершенных классов.

— Густав Норд
источник