В чем разница между суждениями и суждениями?

Меня смущает тонкое различие между суждениями и суждениями, когда они подвергаются интуиционистской теории типов. Может ли кто-нибудь объяснить мне, в чем смысл отличать их и что отличает их? Особенно ввиду Карри-Ховарда Изоморфсима.

Во-первых, вы должны знать, что, как правило, нет единого мнения об этих терминах, и их определения зависят от системы, в которой вы работаете. Поскольку вы спрашивали о теории типов интуиционистов, я процитирую Пфеннинга:

Суждение - это то, что мы можем знать, то есть объект познания. Суждение очевидно, если мы действительно знаем это.

Предложения с другой стороны, по мнению Мартина-Лёфа, являются множествами доказательств. В этой интерпретации, если множество доказательств для предложения пусто, то оно ложно и в противном случае верно.

Предложение интерпретируется как множество, элементы которого представляют доказательства предложения

говорит Нордстрем и соавт. С другой стороны, в классической логике и в целом пропозиции - это объекты, выраженные на языке, который может быть «истинным» или «ложным».

Чтобы дать вам дополнительную интуицию; с моей точки зрения, суждения металогичны, а суждения логичны.

Я предлагаю «Конструктивную логику» Фрэнка Пфеннинга , «Доказательства и типы» Жана-Ива Жирара и «Программирование в теории типов Мартина-Лёфа» Бенгта Нордстрома и др. Все три свободно доступны в Интернете. Последний, вероятно, наиболее близок к тому, что вы хотите, так как он ориентирован на программирование и подробно рассказывает о значении этих терминов и многом другом.

Возможно, я могу попытаться дать менее метафизический ответ.

Есть язык, логический язык, который мы изучаем. На этом языке существуют вещи, называемые «суждениями», которые должны быть истинными или ложными.

Существует метаязык, который также является логическим языком, в котором мы пытаемся объяснить, какие вещи в базовом языке являются истинными или ложными. Заявления, которые мы делаем на этом мета-языке, называются «суждения».

Обратите внимание, что все предложения базового языка имеют статус данных на метаязыке. Они так же хороши, как струны. Вы не можете спросить строку, является ли она истинной или ложной. Суждение - это интерпретатор, который интерпретирует строку как предложение и решает, является ли она истинной или ложной.

Я постараюсь быть кратким, где другие ответы были более исчерпывающими. Есть разница между фрагментом текста с надписью «Дворецкий сделал это». и миссис Марпл провозглашают: «Дворецкий сделал это». Во втором случае дворецкий может потерять свободу.

В теориях типа Мартина-Лёфа суждения являются частью речевых актов . Есть четыре (или пять согласно Википедии) суждения:

• $A \ \mathsf{Type}$$A$
• $s : A$$s$$A$
• $s=t : A$$s$$t$$A$
• $A=B$$A$$B$
• $\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

$\vdash$

$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

Я бы добавил «Основы конструктивной математики» Майкла Бисона к предложениям в ответе Энтони. Мартин-Лёф дал несколько выступлений, которые очень хорошо объясняют его теорию, но, к сожалению, большинство из них не превратились в опубликованную им форму (но посмотрите этот сайт ).

Суждения - это композиция двух вещей:

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$где некоторые логики имеют такие суждения, которые нетривиально эквивалентны любому предложению языка логики. Таким образом, различные виды пропозициональных представляются в довольно элементарной классической логике.

Теория типов Мартина-Лёфа прибегает к более сложному семейству суждений по трем причинам: во-первых, она зависима от типа, что означает, что суждения возникают как синтаксические сущности внутри терминов Во-вторых, он обошелся без использования грамматики, чтобы определить, какие строки символов являются допустимыми терминами и предложениями, но использовал для этого логическую систему - разумная вещь, так как предложения в таких типизированных теориях, как правило, не являются контекстно-свободными. В-третьих, он разработал новую теорию равенства, часто называемую пропозициональным равенством, которая использует теорию бета-эта (или, в некоторых вариантах, только теорию бета), и суждения о том, что два термина имеют одинаковую нормальную форму, выражаются с помощью суждений, выражающих бета / эта эквивалентность двух слагаемых - опять же разумно,

Суждения, выражающие бета / эту эквивалентность, могут быть устранены без особых затруднений - основанием для правила введения для пропозиционального равенства является то, что оба термина являются бета-эквивалентами (бета-эта эквивалентность немного более проблематична), но исключая суждение что условия обитания типов гораздо сложнее; наименее плохой способ, которым я могу придумать для этого, состоит в том, чтобы восстановить вывод типа в термине грамматика, что приводит к более сложной и менее интуитивной теории в целом.

Претензии, предложения и заявления все одинаковы; но судебное разбирательство - это утверждение, которое было проверено (правильно или неправильно), одобрено или использовано в качестве заключения. Нет необходимости в причудливых формулах, таких как приведенные выше ответы, кажется, злоупотребляют ...