Идеальные совпадения на шахматной доске?

Рассмотрим проблему определения максимального количества рыцарей, которых можно разместить на шахматной доске, чтобы двое из них не атаковали друг друга. Ответ 32: найти идеальное соответствие не так уж и сложно (график, индуцированный ходами коня, является двудольным, и есть идеальное соответствие для доски 4 × 4), которая, очевидно, является минимальным краевым покрытием. Также нетрудно доказать, что ответ дляшахматной доскиm×nвсякий раз,когдаm,n≥3: достаточно показать соответствия для3≤m,n≤6и выполнить небольшую индукционную работу.$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

С другой стороны, если бы шахматная доска была тороидальной, а - четными, для доказательства даже не потребовалось бы показывать соответствие для небольших досок: карта ( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 ) имеет только циклы равной длины, поэтому должно быть идеальное соответствие.$m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

Есть ли какой-нибудь эквивалент для прямоугольных шахматных досок, т.е. есть ли более простой способ показать, что для достаточно больших всегда есть идеальное соответствие шахматной доски? Для больших досок прямоугольная доска и тороидальная доска почти эквивалентны в том смысле, что доля отсутствующих краев сводится к нулю, но я не знаю каких-либо теоретических результатов, которые гарантировали бы идеальное соответствие в этом случае.$m, n$

Что если вместо прыжка в любом направлении конь выпрыгнет ( 2 , 3 ) на квадраты в любом направлении? Или, в этом отношении, ( p , q ) квадраты, с p + q нечетным и p , q взаимно простым? Если это простой способ доказать , что ответ ⌈ м $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$для достаточно большихm,n(скажем,m,n≥C(p,q)), как выглядитC(p,q)?$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

Ответ НЕ для всех большихm,n,если, например,p=6иq=3. Почему? Обратите внимание, что из-за остатков$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ теперь граф является (вершинным) непересекающимся объединением трех двудольных графов, и из каждого мы можем выбрать большую половину. Например, если m = n = 100 , то таким образом мы можем разместить (как минимум) 5002 коня. (Это потому что х + $\mod 3$$m=n=100$ имеет шесть классов, которые находятся в трех парах, различия между количествами пар составляет 1 , 1 , 2. )$x+y \mod 6$$1,1,2$

$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$