Насколько сложно использовать подход Mulmuley-Sohoni GCT, чтобы показать * известные * разделения сложности?

В этом гостевом посте Джоша Грохова в блоге о сложности он рассказывает о недавнем семинаре, посвященном GCT, который прошел в Принстоне в июле. Несколько участников утверждали, что мы должны использовать GCT, чтобы атаковать более простые проблемы, чем против $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ , чтобы построить интуицию и посмотреть, есть ли у метода потенциал.

Вопрос, который меня беспокоил:

Можно ли использовать GCT, чтобы показать известные разделения, такие как или ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

Делает что-то вроде $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

Даже не имеет смысла в контексте GCT, или
Совершенно тривиально и неинтересно в рамках GCT, или
Привести к предположениям так же сложно, как против ? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory gct

— Мугизи Рвебангира
источник

Комментарии Джоша к этому посту, по-видимому, подразумевают, что такое разделение можно сформулировать на «языке GCT», но это нетривиально, и никто пока не нашел способа сделать это. Но все равно был бы признателен за понимание со стороны эксперта.

— Мугизи Рвебангира

AFAIR, Малмулей начинает свою презентацию ( video.ias.edu/stream&ref=226 ) с #P против NC как более естественный вопрос для GCT. Это может быть первая интуиция для ответа на ваш вопрос.

— Михаэль Кадилхак

Спасибо за эту ссылку, Михаэль. По какой-то причине громкость слишком низкая, чтобы я мог слушать ее на рабочем столе моего офиса, но я попробую, когда вернусь домой. Хотя в любом случае Джош уже дал хороший ответ.

— Мугизи Рвебангира

Ответы:

Краткий ответ: вероятно, нет (1), определенно нет (2) и, возможно, (3).

Это то, о чем я думал сейчас время от времени. Во-первых, в некотором смысле GCT действительно нацелен на то, чтобы дать более низкие оценки вычислительным функциям, а не решению проблем. Но ваш вопрос имеет смысл для версий функциональных классов , , и $L$ $P$ $PSPACE$ $EXP$ .

Во-вторых, на самом деле доказываем булевы версии - те, которые мы знаем и любим, как $FP \neq FEXP$ - вероятно, невероятно сложно в подходе GCT, поскольку это потребовало бы использования теории модульных представлений (теории представлений поверх конечных поля), что не очень хорошо понято в любом контексте.

Но разумная цель может заключаться в использовании GCT , чтобы доказать алгебраический аналог . $FP \neq FEXP$

Чтобы перейти к вашему вопросу: я считаю, что эти вопросы могут быть сформулированы в контексте GCT, хотя не сразу понятно, как. Более или менее вам нужна функция, которая является полной для класса и характеризуется его симметриями; дополнительный бонус, если теорию представления, связанную с функцией, легко понять, но это последнее обычно довольно сложно.

Даже когда вопросы сформулированы в контексте GCT, я понятия не имею , как трудно будет использовать GCT , чтобы доказать (алгебраические аналоги) и т.д. представительские теоретико-домыслы , которые будут возникать в этих контекстах скорее всего, будет иметь вкус, очень похожий на те, что возникают в против $FP \neq FEXP$ $P$ $NP$ или постоянный против определителя. Можно надеяться, что классические доказательства этих результатов разделения могут дать некоторое представление о том, как найти теоретико-представительные «препятствия», необходимые для доказательства GCT. Однако доказательства упомянутых вами утверждений - это все теоремы иерархии, основанные на диагонализации, и я не вижу, как диагонализация действительно даст вам глубокое понимание теории представлений, связанной с функцией, которая является полной для (алгебраического аналога) , скажем. С другой стороны, я еще не видел, как сформулировать в контексте GCT, поэтому пока рано говорить. $FEXP$ $FEXP$

$2 \times 2$ $\frac{3}{2}n^2 - 2$

$2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ $FP \neq FEXP$ $P \neq NP$

— Джошуа Грохов
источник

F P \neq F E X P

$FP \neq FEXP$

Спасибо! Это было ОЧЕНЬ полезно. Моя общая идея (и я думаю, что и других) состояла в том, чтобы подумать о том, что будет «легким первым шагом» в этой программе GCT. Но, похоже, на самом деле его нет (по крайней мере, пока). Вы упомянули, что подход Grobner Bases имеет вдвое экспоненциальное время выполнения, знаете ли вы, каково было (асимптотическое) время выполнения поиска, выполненного Бургиссером и Икенмейером?

— Мугизи Рвебангира

Я полагаю, что это было все еще экспоненциально (что частично объясняет, почему они не могли полностью воспроизвести результат Ландсберга), но только по отдельности :).

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow: было бы полезно, если бы вы поместили баннер с обновлением либо в начале, либо в конце ответа. В старости мои глаза уже не те, что были раньше, и при первом просмотре ответа я пропустил изменение.

— Виджай Д

Есть новая статья об arXiv от Джошуа Грохова , которая показывает, как поместить несколько известных методов нижней границы в структуру GCT, и кажется, что она несколько отвечает на ваш вопрос.

(В основном это просто комментарий, но никто не заметит комментарий, поэтому я публикую его как ответ.)

Объединение и обобщение известных нижних оценок с помощью теории геометрической сложности

Джошуа А. Грохов

$AC^0[p]$ посредством чего это естественное объединение и широкое обобщение известных результатов. Это также показывает, что структура GCT, по меньшей мере, столь же мощна, как и известные методы, и дает много новых концептуальных подтверждений того, что GCT действительно может обеспечить значительные асимптотические нижние оценки. Эта новая точка зрения также открывает возможность плодотворного двустороннего взаимодействия между предыдущими результатами и новыми методами GCT; Мы предоставляем несколько конкретных предложений о таких взаимодействиях. Например, теоретико-представительная точка зрения GCT, естественно, предоставляет новые свойства, которые необходимо учитывать при поиске новых нижних границ. Эта новая точка зрения также открывает возможность плодотворного двустороннего взаимодействия между предыдущими результатами и новыми методами GCT; Мы предоставляем несколько конкретных предложений о таких взаимодействиях. Например, теоретико-представительная точка зрения GCT, естественно, предоставляет новые свойства, которые необходимо учитывать при поиске новых нижних границ. Эта новая точка зрения также открывает возможность плодотворного двустороннего взаимодействия между предыдущими результатами и новыми методами GCT; Мы предоставляем несколько конкретных предложений о таких взаимодействиях. Например, теоретико-представительная точка зрения GCT, естественно, предоставляет новые свойства, которые необходимо учитывать при поиске новых нижних границ.

— Робин Котари
источник