Запрещенные миноры для графов ограниченной ширины

Этот вопрос похож на один из моих предыдущих вопросов. Известно, что является запрещенным минором для графов с шириной не более t .$K_{t+2}$$t$

Существует ли красиво построенное, параметризованное, бесконечное семейство графов (кроме полных графов и сеточных графов), которые являются минимально запрещенными минорами для графов любой длины дерева. Другими словами, существует ли явный граф на r вершинах (который не является полным графом), такой, что G r является запрещенным минором для графов с шириной не более r , где r является функцией от t ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

Полные множества запрещенных миноров известны графами ширины деревьев не более трех. Смотрите эту статью в Википедии для более подробной информации.

Известен ли полный набор запрещенных миноров графов древовидности не более четырех?

Если G формируется из меньшего графа H, который не является кликой, путем добавления двух вершин x и y, так что x и y не смежны друг с другом, а смежны со всеми остальными вершинами G, тогда . В самом деле , в любом разложении дерева из G , либо х и у имеют непересекающиеся поддеревьев или они имеют перекрывающиеся поддеревьев. Если они имеют непересекающиеся поддеревья, все остальные поддеревья должны включать кратчайший путь между деревьями для x и y , из чего следует, что ширина дерева равна n - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; Предположение, что не является кликой, может быть использовано для того, чтобы показать, что n - 2 ≥ t w ( H ) + 2 . Альтернативно, если x и y имеют перекрывающиеся поддеревья, у каждой другой вершины должно быть поддерево, которое касается пересечения двух поддеревьев x и y , и мы можем ограничить разложение дерева этим пересечением, давая разложение дерева, в котором x и y участвовать в каждом узле дерева.$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

Это означает, что гипероктаэдральный граф с 2 k узлами является минимальным запрещенным минором для ширины 2 k - 3 . Так как октаэдрический граф K 2 , 2 , 2 является минимальным запрещенным минором для ширины три, из приведенного выше рассуждения видно, что гипероктаэдральный граф имеет ширину 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$, И если в гипероктаэдральном графе выполняется какое-либо сжатие или удаление ребер, симметрии графа позволяют предположить, что операция происходит с одним из двенадцати ребер в базовом октаэдре, вызывая его ширину и ширину всех гипероктаэдров. построен из него, чтобы уменьшить.

(Другой класс графов, который вы должны включить в свой вопрос вместе с полными графами, - это сеточные графы. Сетка имеет ширину дерева r . Она отделена от минорных целых графов, потому что она плоская и поэтому не имеет полного минорного с более чем четыре вершины. Это не минимальный запрещенный минор, хотя некоторые небольшие изменения (например, сужение угловых вершин) не изменяют его ширину дерева.)$r\times r$$r$

В разреженных препятствиях и точном определении ширины дерева Лусена утверждает, что в докторской диссертации Сандерса « дается 75 или около того минимальных запрещенных миноров для ширины дерева , и считается, что не доказано, что это может составлять весь набор препятствий».$\leq 4$