Монотонные арифметические схемы

Состояние наших знаний об общих арифметических схемах похоже на состояние наших знаний о булевых схемах, то есть у нас нет хороших нижних границ. С другой стороны, мы имеем экспоненциальный размер нижних границ для монотонных булевых цепей .

Что мы знаем о монотонных арифметических схемах? У нас есть такие же хорошие нижние оценки для них? Если нет, то в чем заключается существенное отличие, которое не позволяет нам получить аналогичные нижние оценки для монотонных арифметических схем?

Вопрос вдохновлен комментариями по этому вопросу .

Нижние границы для монотонных арифметических схем упрощаются, потому что они запрещают отмены. С другой стороны, мы можем доказать экспоненциальные нижние оценки для схем, вычисляющих булевы функции, даже если любые монотонные вещественные функции $g:R\times R\to R$ допускаются в качестве затворов (см., Например, раздел 9.6 в книге ).

$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$( + , макс $(+,\min)$$(+,\max)$, Ворота тогда соответствуют подзадачам, используемым алгоритмом. На самом деле Джеррум и Снир (в статье V Vinay) доказывают, что любой алгоритм DP для минимального идеального соответствия веса (а также для задачи TSP) должен создавать экспоненциально много подзадач. Но проблема Совершенного Матхинга не является «недостатком DP» (она не удовлетворяет Принципу оптимальности Беллмана ). Линейное программирование (не DP) гораздо больше подходит для этой проблемы.

Так что насчет задач оптимизации, которые могут быть решены с помощью достаточно небольших алгоритмов DP - можем ли мы доказать и нижние оценки для них? Очень интересным в этом отношении является старый результат Керра (теорема 6.1 в его диссертации ). Это означает, что классический алгоритм Флойда-Варшалла DP для задачи кратчайших путей всех пар (APSP) является оптимальным : необходимы подзадачи . Еще интереснее то, что аргумент Керра очень прост (гораздо проще, чем те, что использовали Джеррум и Снир): он просто использует аксиому дистрибутивности и возможность «убить» мин-гейтс, установив один из его аргументов в Таким образом он доказывает, чтоa + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , min $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$плюс-ворота необходимы для умножения двух матриц на полукольцо . В разделе 5.9 книги Ахо, Хопкрофта и Уллмана показано, что эта проблема эквивалентна проблеме APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Следующий вопрос может быть следующим: как насчет проблемы кратчайших путей из одного источника (SSSP)? Алгоритм Беллмана-Форда для этой (казалось бы, «более простой») задачи также использует вентилей. Это оптимально? До сих пор не известно разделения между этими двумя версиями проблемы кратчайшего пути; посмотрите интересную статью о Вирджинии и Райане Уильямсе по этим направлениям. Таким образом, нижняя граница в -цепи для SSSP была бы отличным результатом. Следующий вопрос может быть: как насчет нижних границ для ранца? В этом проекте нижние оценки для ранца доказаны в более слабой модели схем где использованиеΩ ( n 3 ) ( + , мин ) ( + , макс ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-ворота ограничены; в приложении воспроизводится доказательство Керра.

Да. Мы знаем хорошие нижние границы и знаем их уже довольно давно.

Джеррум и Снир доказали экспоненциальную нижнюю границу по монотонным арифметическим схемам для перманента к 1980 году. Валиант показал, что даже один минус ворота экспоненциально более мощный .

Для больше на (монотонных) арифметических схемах, проверьте обзор Шпилки на арифметических схемах.

Другой известный мне результат - Арвинд, Йоглекар и Сринивасан - они представляют явные многочлены, вычисляемые по монотонным арифметическим схемам с линейной шириной но любая монотонная арифметическая схема по ширине- будет иметь экспоненциальный размер.$2k$$k$

Имеет ли это значение: нижние оценки полугруппы Шазеля для фундаментальных задач поиска по дальности (в автономном режиме). Все нижние оценки являются почти оптимальными (вплоть до логарифмических терминов, когда нижняя граница является полиномиальной, и логарифмических терминов, когда нижняя граница является полилогарифмической).