Если абстрактная машина может симулировать себя, делает ли это Тьюринг завершенным?

Например, в языках программирования обычно пишут компилятор / интерпретатор X-in-X, но на более общем уровне многие известные системы с полным набором Тьюринга могут имитировать себя впечатляющими способами (например, симуляция игры жизни Конвея в игре жизни Конвея). ).

Итак, мой вопрос: способна ли система имитировать себя достаточно, чтобы доказать, что она завершена по Тьюрингу? Это, безусловно, необходимое условие.

Не обязательно. Например, двумерный блочный клеточный автомат с двумя состояниями, в котором клетка становится живой только тогда, когда ее четыре предшественника имеют ровно две соседние живые клетки, может имитировать себя с коэффициентом замедления в два раза и взрывом в два размера, но не известно, что Тьюринг завершен. См . B36 / S125 «2x2» Life-Like Cellular Autoton Натаниэля Джонстона для получения дополнительной информации об этом блочном автомате и о правиле B36 / S125 для окрестности Мура, которое также способно моделировать этот блочный автомат.

Нет, это не так. Я знаю два основных класса методов, позволяющих избежать противоречивости / полноты по Тьюрингу.

1. Первая линия атаки состоит в том, чтобы настроить систему так, чтобы синтаксис можно было арифметизировать, но теорема Годеля о фиксированной точке не проходит. Дэн Уиллард много работал над этим и дал последовательные самопроверяющиеся логические системы. Хитрость заключается в том, чтобы исключить символы функций умножения и сложения и заменить их делением и вычитанием. Это дает вам достаточно мощности для арифметического представления синтаксиса, но теорема о фиксированной точке не выполняется, так как умножение не является доказуемо полным.

   Смотри, Дэн Уиллард. Самопроверяющиеся аксиомные системы, теорема о неполноте и соответствующие принципы отражения . Журнал символической логики 66 (2001), стр. 536-596.

2. Вторая линия атаки позволяет больше использовать фиксированные точки, но настраивать так, чтобы синтаксис не арифметизировался. Самые красивые системы для этого (ИМО) основаны на вариантах линейной логики. Например, в теории аффинного множества света Казушиге Теруи даже принцип полного неограниченного понимания множества является здравым, но поскольку окружающая логика теории множеств линейна (и, следовательно, сжатие недопустимо), парадокс Рассела не выводится.

   Интуитивная причина того, что арифметизация не удалась, состоит в том, что пространство легких линейных функций настроено так, что все его обитатели имеют полиномиальное время. В результате, облегченная линейная версия аксиом Пеано не может доказать сумму возведения в степень (поскольку возведение в степень унарных чисел занимает экспоненциальное время), и, следовательно, больше нет изоморфизма между натуральными числами и цепочками битов.$A \multimap B$

   Казушиге Теруи. Легкая аффинная теория множеств: наивная теория множеств полиномиального времени. Studia Logica, Vol. 77, № 1, с. 9-40, 2004.

   Я думаю, что эта статья более доступна после прочтения следующей статьи Ива Лафона:

   Y. Lafont, Мягкая линейная логика и полиномиальное время , Теоретическая информатика 318 (специальный выпуск о неявной вычислительной сложности) с. 163-180, Elsevier (2004)

   Теория множеств Теруи очень выразительна, но ее трудно сравнивать с традиционными теориями множеств, поскольку теоретико-доказательственные ординалы не являются хорошим инструментом для сравнения очень слабых систем. Например, теория множеств Теруи, очевидно, не может доказать полное возведение в степень, и, следовательно, ее доказательственно-теоретическая сила не может даже достигать . Классы сложности, вероятно, лучше - они завершены для polytime (они могут доказать общее количество всех функций polytime, но не более).$\omega$

   Я склонен думать об этих видах систем как о концептуальных доказательствах идеи о том, что теория сложности может служить основой для определенных видов ультрафинитизма.

Рассмотрим следующую модель машины. Машина с кодом на входе всегда выдает .х $i$$x$$0$

Обратите внимание, что любая машина в этой модели является универсальной, так как для всех .$M$М ' , $M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$$M', x$

Это явно не полный набор, но также и универсальные машины.