Есть ли логика без индукции, которая захватывает большую часть P?

Теорема Иммермана-Варди утверждает, что PTIME (или P) - это именно тот класс языков, который может быть описан предложением логики первого порядка вместе с оператором с фиксированной точкой над классом упорядоченных структур. Оператор с фиксированной точкой может быть либо с наименьшей фиксированной точкой (как рассматривалось Иммерманом и Варди), либо инфляционной фиксированной точкой. (Стефан Кройцер, Выразительная эквивалентность наименьшей и инфляционной логики с фиксированной запятой , Annals of Pure и Applied Logic 130 61–78, 2004).

Юрий Гуревич предположил, что нет логики захвата PTIME (« Логика и вызов информатики» , «Современные тенденции теоретической информатики», изд. Egon Boerger, 1–57, Computer Science Press, 1988), в то время как Мартин Грох заявил, что он менее уверенный ( В поисках логического захвата PTIME , FOCS 2008).

Оператор с фиксированной точкой предназначен для захвата мощности рекурсии. Фиксированные точки являются мощными, но для меня не очевидно, что они необходимы.

Существует ли оператор X, который не основан на фиксированных точках, такой, что FOL + X захватывает (большой) фрагмент PTIME?

Редактировать: Насколько я понимаю, линейная логика может выражать только утверждения о структурах, которые имеют довольно ограничительную форму. В идеале я хотел бы видеть ссылку или набросок логики, которая может выражать свойства произвольных наборов реляционных структур, но при этом избегать фиксированных точек. Если я ошибаюсь по поводу выразительной силы линейной логики, тогда приветствуется указатель или подсказка.

Вы хотите взглянуть на то, что некоторые люди называют теоремой Гределя. Вы можете найти его в книге Пападимитриу «Вычислительная сложность» (это теорема 8.4 на стр. 176) или в оригинальной статье Грэделя .

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$$R$

Насколько я понимаю, линейная логика может выражать только утверждения о структурах, которые имеют довольно ограничительную форму. В идеале я хотел бы видеть ссылку или набросок логики, которая может выражать свойства произвольных наборов реляционных структур, но при этом избегать фиксированных точек. Если я ошибаюсь по поводу выразительной силы линейной логики, тогда приветствуется указатель или подсказка.

Это не правильно: все вычлененные коммутативные моноидальные решетки являются моделями линейной логики. Вот простой способ создать такую ​​решетку из конечных графов. Начните с набора

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

$(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

Это объединяет два элемента путем объединения их собственных наборов, если графики равны, а собственные наборы не пересекаются.

Теперь мы можем дать модель линейной логики следующим образом:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

Эта модель фактически является вариантом моделей, используемых в логике разделения, которая широко используется при проверке программ, управляющих кучей. (Если хотите, подумайте о графике как о структуре указателя кучи, и аналогия точна!)

Однако это не совсем правильный подход к линейной логике: ее реальные интуиции являются теоретико-доказательственными, а связь со сложностью происходит через вычислительную сложность теоремы об исключении разреза. Модельная теория линейной логики является тенью, отбрасываемой ее теорией доказательств.

В последнее время появляются захватывающие результаты поиска логики захвата PTIME. Известный пример Cai, Fürer и Immerman, показывающий, что LFP + C не захватывает PTIME, был основан на, казалось бы, искусственном классе графов. Конечно, он был построен для конкретной задачи демонстрации ограничений LFP + C. Только недавно Давар показал, что класс совсем не искусственный. Скорее это можно рассматривать как пример того факта, что LFP + C не может решать системы линейных уравнений!

Следовательно, Давар, Гроэ, Хольм и Лаубнер расширили логику с помощью операторов линейной алгебры, например, с помощью оператора для определения ранга определяемой матрицы. Результирующая логика LFP + rank может выражать строго больше, чем LFP + C, фактически нет известного свойства PTIME, которое LFP + rank не может выразить.

Даже FO + rk удивительно мощен, он может выражать детерминированное и симметричное транзитивное замыкание. Пока не ясно, может ли оно выражать общее транзитивное замыкание графа.

В зависимости от того, что вы подразумеваете под «захватом», может представлять интерес мягкая линейная логика и полиномиальное время Ива Лафона. В этой логике есть доказательства соответствия 1-1 и алгоритмы PTIME, которые принимают строку в качестве входных данных и выходных 0 или 1.

Статья Википедии о линейной логике находится здесь . Это не логика с фиксированной точкой. Мне легче всего понять интуицию «классической логики над -алгебрами вместо булевых алгебр».$C^*$

Некоторые более старые работы по этой проблеме, опять же в духе линейной логики, - это Жан-Ив Жирар, Андре Щедров и Филипп Скотт. Линейная ограниченная логика: модульный подход к вычислимости за полиномиальное время. Теоретическая информатика, 97 (1): 1–66, 1992.

Более поздние работы включают « Ограниченную линейную логику», пересмотренную Уго Дал Лаго и Мартином Хофманном.