Решение о том, что данная схема

Какова сложность решения, вычисляет ли схема с входными битами и выходными битами перестановку ? другими словами, является ли каждая строка битов в выходом схемы для некоторого входа? Это похоже на проблему, которая была изучена, но я не могу найти никаких ссылок. $\mathsf{NC}^0$ $n$ $n$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$

cc.complexity-theory circuit-complexity permutations

— Qicheng
источник

Очевидная оценка - это

который также работает для

(проверьте, является ли функция инъективной).

c o N P

$\mathsf{coNP}$

P

$\mathsf{P}$

— Каве

Что вы подразумеваете под «цепью NC0»? Обычная фраза - «семейство цепей NC0», которое (возможно, к сожалению) часто сокращается до «цепей NC0», но я не думаю, что вы имеете в виду семейство цепей NC0 в своем вопросе.

— Цуёси Ито

Под схемой

я подразумеваю, что каждый выходной бит схемы зависит только от постоянного числа входных битов.

N C^{0}

$NC^0$

— QiCheng

Да, я спрашиваю о семье. Чтобы прояснить ситуацию, вы можете изменить

на

где каждый выходной бит зависит только от

входных битов в семействе.

N C^{0}

$NC^0$

N C_{5}^{0}

$NC_5^0$

5

$5$

— ЦиЧенг

Это не отвечает на ваш вопрос, но если проблема обобщена так, что каждый выходной бит может зависеть от O (log n) входных битов, то я думаю, что проблема является coNP-полной при сводимости Тьюринга. Это следует из coNP-полноты конечной обратимости двумерных клеточных автоматов ( Durand 1994 ), представляя каждую клетку в двумерных клеточных автоматах в виде O (log n) -битной двоичной строки.

— Цуёси Ито

твердость

После вашего комментария по этому вопросу мы назовем схему, в которой каждый выходной бит зависит не более чем от k входных битов, «NC ⁰_k- цепь». Используя этот термин, ваша задача является coNP-полной в случае NC ⁰₅ -контур . То есть следующая проблема является coNP-полной.

Экземпляр : логическая схема C с n входными битами и n выходными битами, где каждый выходной бит зависит максимум от пяти входных битов.
Вопрос : вычисляется ли отображение из {0,1} ⁿ в себя биективным Си ?

Как прокомментировал Каве, он явно присутствует в coNP, даже без ограничения количества входных битов, от которых зависит каждый выходной бит. Чтобы доказать твердость coNP, мы уменьшим 3SAT до дополнения к текущей проблеме. Основная идея сокращения та же, что и в работе [Dur94] Дюрана, о которой я упоминал в комментарии к вопросу, но в нашем случае все сокращение намного проще.

Учитывая формулу 3CNF φ с n переменными и m предложениями, мы строим булеву схему C с ( n + m ) входными битами и ( n + m ) выходными битами следующим образом. Мы обозначаем входные биты как x ₁ ,…, x _n , y ₁ ,…, y _m , а выходные биты - как x ′ ₁ ,…, x ′ _n , z ₁ ,…, z _m . Мы считаем, что входные биты х₁ ,…, x _n задают присвоение истинности n переменным в φ .

x ′ _i = x _i для 1≤ i ≤ n . Таким образом, первые n битов ввода всегда копируются в первые n битов вывода.
Для 1≤ i ≤ m , если i- е условие φ выполнено, то z _i = y _i ⊕ y _{i +1} , где нижний индекс интерпретируется по модулю m . В противном случае z _i = y _i .

Обратите внимание, что каждый выходной бит зависит не более чем от пяти входных битов. Я опускаю доказательство правильности сокращения, но ключевая идея (которую я позаимствовал из [Dur94]) заключается в том, что если φ выполнимо, а входные биты x ₁ ,…, x _n установлены в удовлетворительное присвоение φ , то м выходных биты г ₁ , ..., Z _м ограничены иметь четность, и , следовательно, схема не может быть перестановкой. С другой стороны, если входные биты x ₁ ,…, x _n установлены на неудовлетворительное назначение φ , то выходные биты z₁ ,…, z _m можно установить на что угодно; из-за этого, если φ неудовлетворительно, то схема является перестановкой.

уступчивость

С трактируемой стороны ваша проблема в P в случае NC ⁰₂ цепей. Это показано следующим образом. В общем, каждый выходной бит в булевой схеме для перестановки сбалансирован ; т. е. ровно половина входных строк устанавливает бит вывода на 1. Однако каждая сбалансированная булева функция от {0,1} ² до {0,1} является аффинной ; т.е. копия одного входного бита, XOR двух входных битов или их отрицание. Следовательно, мы можем сначала проверить, сбалансирован ли каждый выходной бит, а затем проверить биективность с помощью исключения Гаусса.

Я не знаю сложности в случае цепей NC ⁰₃ или цепей NC ⁰₄ .

Ссылки

[Dur94] Бруно Дюран. Обращение двумерных клеточных автоматов: некоторые результаты сложности. Теоретическая информатика , 134 (2): 387–401, ноябрь 1994. DOI: 10.1016 / 0304-3975 (94) 90244-5 .

— Цуёси Ито
источник

Я разместил дополнительный вопрос о случае цепей NC ^ 0_3.

— Tsuyoshi Ito