Технический вопрос о случайных прогулках

(На мой первоначальный вопрос до сих пор нет ответа. Я добавил дополнительные пояснения.)

При анализе случайных блужданий (на неориентированных графах), рассматривая случайное блуждание как цепь Маркова, мы требуем, чтобы граф был не двудольным, чтобы применялась основная теорема о цепях Маркова.

Что будет, если график $G$вместо двудольного? Меня особенно интересует время удара$h_{i,j}$где есть грань между $i$ а также $j$ в $G$, Скажем двудольный граф$G$ имеет $m$кромки. Мы можем добавить цикл к произвольной вершине в графе, чтобы сделать результирующий граф$G'$недвудольный; применяя фундаментальную теорему цепей Маркова к$G'$ тогда мы получим это $h_{i,j} < 2m+1$ в $G'$и это явно также верхняя граница $h_{i,j}$ в $G$,

Вопрос: правда ли, что более сильные претензии $h_{i,j} < 2m$ держит в $G$? (Это было показано в анализе алгоритма случайного блуждания для 2SAT.) Или мы действительно должны пройти этот дополнительный шаг добавления самоконтроля?

Этот ответ оказался чем-то отличным от того, чем на самом деле интересовался спрашивающий. Оставив его здесь, чтобы другие не повторили ту же ошибку.

В большинстве случаев можно формально обосновать интуитивное представление о том, что «самопетли могут только замедлять ход» с помощью связующего аргумента. В этом случае, например, можно соединить прогулку с циклами self (давайте назовем это$A$) и тот, у которого нет собственных петель (назовем это $B$) так что $A$принимает те же меры, что и$B$, но задерживается во времени. Это может быть сделано, например, следующим образом: предположим, что$B$ начинается в $u = x_0$ и проходит через $x_i: i =1,2,\ldots,k$, Теперь мы реализуем$A$ следующее: $A$ также проходит через те же вершины, что и $B$кроме той вершины $x_i$дожидается Geometric ($p_i$) время где $p_i$ вероятность петли при $x_i$, Обратите внимание, что это правильная реализация$A$ (все вероятности перехода правильны), а форма связи обеспечивает $A$ никогда не достигает какой-либо вершины раньше $B$мы объединились $H_t^A$ а также $H_t^B$ (случайное время попадания в две прогулки), так что $H_t^A \geq H_t^B$ с вероятностью $1$, Таким образом, неравенство для ожидаемого времени удара следует.

Я разместил это как комментарий раньше, и я считаю, что он отвечает на модифицированный вопрос user686 утвердительно (когда $i$ а также $j$ связаны ребром в графе $G$ (независимо от того, является ли это двудольным или нет), $h(i,j)$, ожидаемое время удара от $i$ в $j$ удовлетворяет $h(i,j) < 2m$.)

Я должен также отметить, что в первоначальной неотредактированной версии вопрос не содержал $i$ а также $j$ являются смежными, поэтому, хотя предыдущие ответы относятся к исходному вопросу, они не относятся к новой отредактированной версии.

Если $i$ а также $j$ находятся рядом, время в пути $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$, где $R(i,j)$ эффективное сопротивление между $i$ а также $j$ в G и самое большее $1$ (поскольку $i$ а также $j$связаны ребром). Это показывает, что$h(i,j)<2m$ когда $i$ а также $j$ смежны в $G$, так как оба $h(i,j)$ а также $h(j,i)$ строго положительны.

Личность $C(i,j) = 2mR(i,j)$ выполняется для произвольных вершин $i$ а также $j$, Доказательство появляется, например, в книге Лиона и Переса.

@ user686 Извините, за мой предыдущий ответ: я не осознавал, что вы обеспокоены $2m+1$ против $2m$, Тем не менее, в этом случае я не думаю, что сделанное там утверждение верно, если вы добавляете цикл self только в$j$, Случайные прогулки, начиная с$i$ в случае обоих $G'$ и и $G$ могут быть соединены так, что они принимают $same$ шаги в то же время, пока они не достигнут $j$, Это значит, что$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$и ожидаемое время попадания должно быть одинаковым.

Кроме того, так как связаны $h_{i,j} < 2m+1$ не правильно вообще (на пути $m$ узлы, $h_{i,j}$ может быть таким большим, как $\Theta(m^2)$), ваш график особенный?

PS: я обновил свой предыдущий ответ, так как кажется, что он не решает вашу главную проблему.