Квантовые доказательства классических теорем

Меня интересуют примеры проблем, в которых теорема, которая, по-видимому, не имеет ничего общего с квантовой механикой / информацией (например, заявляет что-то о чисто классических объектах), тем не менее, может быть доказана с помощью квантовых инструментов. Обзор квантовых доказательств классических теорем (А. Друкер, Р. Вольф) дает хороший список таких проблем, но, несомненно, их гораздо больше.

Особенно интересными могут быть примеры, когда квантовое доказательство не только возможно, но и «более информативно», по аналогии с реальным и сложным анализом, где постановка реальной задачи в сложных условиях часто делает ее более естественной (например, геометрия проще, поскольку алгебраически замкнут и т. д.); иными словами, классические проблемы, для которых квантовый мир является их «естественной средой обитания».$\mathbb{C}$

(Я не определяю здесь «квантовость» в каком-либо конкретном смысле, и можно утверждать, что все такие аргументы в конечном итоге сводятся к линейной алгебре; ну, можно также перевести любой аргумент, используя комплексные числа, чтобы использовать только пары вещественных чисел - но так, что ?)

Недавно появилась статья Скотта Ааронсона, в которой представлено новое доказательство того, что перманент # P-hard. Это доказательство основано на модели линейно-оптических квантовых вычислений и является более интуитивным, чем у Лесли Валианта.

На мой взгляд, мне нравится следующая статья:

Каталин Фридл, Габор Иваньос, Миклош Сантха. Эффективное тестирование групп. В STOC'05.

Здесь они определяют «классический» тестер для абелевых групп. Однако сначала они начинают с квантового тестера, а затем продолжают уничтожать все квантовые части.

Что мне нравится в этой статье, так это то, что они используют квантовый тестер для получения интуиции и используют его для решения проблемы. Может показаться более сложным подходом (начать с квантовой и перейти к классической), но авторы являются хорошо известными исследователями в области квантовых вычислений. Так что, возможно, им легче начать с этого.

Я бы сказал, что их основной технический вклад - это тестер гомоморфизма, который они используют для устранения квантовых частей.

Два очень недавних и интересных результата:

• Сэмюэль Фиорини, Серж Массар, Себастьян Покутта, Ханс Радж Тивари и Рональд де Вольф доказали, что «не существует линейной программы (LP) полиномиального размера, чей связанный многогранник проецируется на многогранник коммивояжера, даже если LP не требуется быть симметричным "(цитата из реферата).
  Они используют квантовую сложность коммуникации в качестве инструмента. Смотрите их статью и пост в блоге Гила Калаи . Также обратите внимание на комментарий Дэйва под постом Гила Калаи. Я еще не читал газету, поэтому я не могу комментировать себя, где и как используются квантовые материалы.

• Эндрю М. Чайлдс, Шелби Киммел и Робин Котари использовали сложность квантового запроса, чтобы доказать нижние оценки для очень классической меры, которая является формулой числа функций, таких как PARITY. Смотрите их бумаги .

Поскольку перманенты дают амплитуды вероятности результатов измерений бозонов после того, как они вмешиваются в линейный интерферометр, Шил получил простое «квантовое» доказательство того, что абсолютное значение перманента любой унитарной матрицы равно 1 ( http://arxiv.org/abs). / Quant-Ph / 0406127 ).

• см. также классические вычисления, охватывающие квантовые идеи, своего рода полу-поп-научный обзор / обзор этого феномена классической / квантовой дихотомии, написанный Вулховером для института Саймонса, с некоторыми примерами и выводами / ссылками.

В последние годы квантовые идеи помогли исследователям доказать безопасность перспективных схем шифрования данных, называемых решеточными криптосистемами, некоторые приложения которых могут скрывать конфиденциальную информацию пользователей, такую ​​как ДНК, даже от компаний, которые ее обрабатывают. Доказательство квантовых вычислений также привело к формуле для минимальной длины кодов, исправляющих ошибки, которые являются защитой от повреждения данных.

Квантовые идеи также вдохновили ряд важных теоретических результатов, таких как опровержение старого, ошибочного алгоритма, который утверждал, что эффективно решает чрезвычайно трудную задачу коммивояжера, которая спрашивает, как найти самый быстрый маршрут через несколько городов.

• другой недавний пример, который похож на направление исследований естественных доказательств Разборова / Рудича (которые связывают разделение классов сложности с разрывом генераторов случайных чисел)

Квантовая нижняя оценка для различения случайных функций от случайных перестановок Генри Юэн

Проблема различия между случайной функцией и случайной перестановкой в ​​области размера N важна в теоретической криптографии, где безопасность многих примитивов зависит от сложности задачи. Мы изучаем сложность квантового запроса этой проблемы ...