Сокращение использования пространства st-подключения с несколькими проходами?

20

Предположим, что граф с вершинами представлен как поток из ребер, но допускается несколько проходов по потоку. $G$ $n$ $m$

Моника Раух Хензингер, Прабхакар Рагхаван и Шридар Раджагопалан отметили, что пространство необходимо, чтобы определить, существует ли путь между двумя заданными вершинами в , если для данных разрешено проходов. (См. Также версию технического отчета .) Однако они не предоставляют алгоритм для фактического достижения этой границы. Я предполагаю, что оптимальный алгоритм фактически будет занимать пространство в реалистичной вычислительной модели, поскольку нужно различать различных вершин, если нельзя индексировать память, используя указатели постоянного размера. $\Omega(n/k)$ $G$ $k$ $O((n\, \log\, n)/k)$ $n$

Как можно решить связность графа с проходами, используя пространство ? $k$ $O((n\, \log\, n)/k)$

Если разрешен только один проход, входные данные могут быть сохранены как разделение набора вершин, объединяя наборы, если грань видна между вершинами в двух разных наборах. Это явно требует не более пространства. Мой вопрос о : как можно использовать больше проходов, чтобы уменьшить требуемое пространство? $O(n\, \log\, n)$ $k > 1$

(Во избежание тривиальности является параметром, который не может быть ограничен априори константой, а границы пространства являются выражениями, включающими функции как и .) $k$ $n$ $k$

Обновление: даже для было бы действительно полезно иметь способ хранить только вершин. Или на самом деле существует более сильная нижняя граница для некоторой константы , независимо от ? $k=2$ $n/2$ $cn$ $c$ $k$

— Андраш Саламон
источник

Как независимо от ? Если он может быть очень большим, тогда st-связность может быть решена в пространстве , так что есть шанс для алгоритма, но, как показывает azotlichid, вероятно, нет в .

k

$k$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (n \log n / k)

$O(n\log n /k)$

— Домоторп

Обратите внимание, что исключение проходов Гухой и Макгрегором для рандомизированных алгоритмов работает в противоположном направлении, используя больше места для меньшего количества проходов (хотя дополнительное пространство велико, если желаемая ошибка мала). Этот вопрос спрашивает, может ли использование большего количества проходов уменьшить использование пространства.

— Андрас Саламон

8

Это давняя открытая проблема - найти алгоритм для st-связности, который работает одновременно в сублинейном пространстве и полиномиальном времени, более легкая задача, чем та, к которой вы стремитесь. Такие алгоритмы известны для ненаправленной версии , но даже они требуют большого полиномиального времени (а не O (км) времени, которое подразумевается алгоритмом k-pass). См. Особенно ссылку на статью Томпы о том, почему направленный случай кажется трудным.

— Ноам
источник

1

М. Томпа, Два знакомых алгоритма транзитивного замыкания, которые не допускают полиномиального времени, реализации сублинейного пространства , SIAM J. Comput. 11 (1), 130–137. dx.doi.org/10.1137/0211010

— Саламон

Эта статья дает «алгоритм для st-связности, который работает одновременно в сублинейном пространстве и полиномиальном времени».

$\hspace{1.71 in}$

4

Это не ответ, но я просто хотел отметить, что если вы можете решить эту проблему для , то вы решите st-связность в пространстве и времени ( что в автономном случае вы можете сделать с вероятностью> 1/2, выполняя случайное блуждание, но это кажется немного сложнее, когда края приходят из потока). Очень интересный вопрос, ИМО. $k = \Theta(n)$ $O(\log n)$ $O(nm)$

— zotachidil
источник

3

Йосси Шилоах, Узи Вишкин. Алгоритм параллельного подключения O (log n). J. Algorithms, 1982: 57 ~ 67 - одна из моих любимых работ. Было бы интересно, если бы вы могли сделать это в O ((nlogn / k) / p) пространстве с p процессорами в раундах, где каждый раунд каждому процессору разрешено читать только в O (n / p) ребер. $k$

— Чад Brewbaker
источник

Спасибо за указатель, это интересная статья. Процессоры имеют общий доступ к структуре данных, которая по меньшей мере равна размеру графика, поэтому это не помогает сократить использование пространства. Было бы действительно интересно, если бы был способ уменьшить использование пространства, используя количество раундов, а также количество процессоров.

— Андрас Саламон

2

Еще один не ответ: есть некоторые статьи об алгоритмах в стиле mapreduce, работающих на больших графах. Цель состоит в том, чтобы получить для каждой машины пространство o (m) для плотных графиков, но обычно требуется O (n) пространства на машину.

Теория.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

— Мартин Пал
источник

1

$O(n\log n/ k)$ $k$ $n/k$ $st$ $n/k$ $n/k$ $st$

— domotorp
источник