От экстракторов к псевдослучайным генераторам?

21

Лука Тревизан показал, сколько конструкций псевдослучайных генераторов можно фактически рассматривать как конструкции экстракторов:

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

Есть ли значимое обратное? Т.е. можно ли рассматривать «естественные» конструкции экстракторов как конструкции псевдослучайных генераторов (PRG)?

Конструкции экстрактора, по- видимому, соответствуют распределениям по PRG (таким образом, что любой отличитель не сможет отличить почти все из них). Есть известные приложения для этого?

— Дана Мошковиц
источник

13

Это прекрасный исследовательский вопрос с несколькими аспектами, и существуют различные способы формализации вопроса в зависимости от того, имеете ли вы в виду экстрактор сеяный экстрактор или экстрактор без косточек, и под PRG вы имеете в виду PRG для булевых схем или более специализированное семейство (например, , эпсилон-смещенные пробелы). Вот несколько неформальных мыслей в голове (но не полный ответ):

Для сеяных экстракторов против PRG черного ящика (как в Nisan-Wigderson) кажется, что PRG черного ящика является более сильным объектом, чем экстрактор. Если вы посмотрите на экстрактор Тревизана, он не только вычислимый экстрактор за полиномиальное время, но и имеет важное дополнительное свойство. А именно, в анализе есть локальный и эффективный вычислительный элемент (а именно, алгоритм декодирования локального списка). Эта дополнительная функция не так важна для экстрактора (как комбинаторный объект, даже если мы требуем, чтобы экстрактор был вычисляемым за полиномиальное время), но крайне важна для PRG (так, чтобы отличительный признак мог быть эффективно преобразован в алгоритм для вычисления тяжелая функция). Фактически это может быть формализовано, и Та-Шма и Цукерман уже формализовали определение «черного ящика PRG» в своей статье «Коды экстракторов». Они показывают, что PRG черного ящика могут быть использованы для создания экстракторов. Для обратного, я думаю, можно показать, что любой экстрактор, который удовлетворяет вышеуказанному свойству, соответствует PRG черного ящика (на языке экстрактора это будет означать, что полученный код экстрактора должен иметь эффективный декодер списка мягкого решения). Вы также можете найти статью Вадхана «Единая теория псевдослучайности», имеющую отношение к этой дискуссии.
В мире экстракторов без косточек Тревизан и Вадхан показывают, что сложные функции для определенного семейства микросхем приводят к созданию экстракторов для этого семейства (статья «Экстракторы для источников выборки»). Так, например, функция, которая действительно сложна в среднем для AC0, может извлекать из источников, выбранных цепями AC0 (если минимальная энтропия источника достаточно велика). Жесткие функции, естественно, относятся к PRG (как заметил Нисан-Вигдерсон). Так что здесь мы снова получаем несколько другое взаимодействие между PRG и экстракторами без косточек. Однако менее ясно, как можно использовать экстрактор для источников выборки (возможно, удовлетворяя некоторым дополнительным свойствам), чтобы получить PRG (следующий пункт пули дает частичный ответ на это). Это направление может быть менее интересным, чем вышеупомянутое обсуждение для отобранных экстракторов, так как до этой даты мы не
С комбинаторной точки зрения, существует сходство между PRG и экстракторами. Мы можем рассматривать PRG как набор точек в (результаты PRG для всех возможных начальных чисел) или, что эквивалентно, раскраску мерного гиперкуба в два цвета. Точно так же экстрактор с одним битом вывода (или любой булевой функцией, в этом отношении) может рассматриваться как набор точек (те, для которых экстрактор оценивает ) или раскраски (в общем, количество цветов будет где - выходная длина). Теперь, PRG с установленной точкой обманывает функцию с установленной точкой $S$ $\{0,1\}^n$ $n$ $0$ $2^m$ $m$ $S$ iffблизко к . Кроме того, экстрактор с множеством точек извлекает из плоского источника, который равномерно распределен по множеству точек iffблизка к . Это сходство между определениями позволяет сделать некоторые значимые выводы. Например, посмотрите на аффинный экстрактор над $F$ $|S \cap F|/|S|$ $|F|/2^n$ $F$ $S$ $|S \cap F|/|S|$ $1/2$ который извлекает из минимальной энтропии и выдает бит. Теперь рассмотрим наборстрок , которые сопоставлены, скажем, с экстрактором, и переведите его, как указано выше, в «PRG» (с длиной начального числа ). Теперь приведенная выше раскрасочная интерпретация показывает, что результирующая функция действительно является PRG для линейных функций; то есть мы получаем эпсилон-смещенный генератор от экстрактора. Это значимые отношения, но, вероятно, они не очень полезны, поскольку полученный PRG растягивает начальное значение только на один бит. Может быть, лучший результат можно получить, если экстрактор выдает больше битов, но я не проверил это тщательно. $\{0,1\}^n$ $n-1$ $1$ $S$ $0$ $n-1$

— MCH
источник

3

Относительно вашего второго пункта: в статье, которую вы упоминаете, даны экстракторы, предполагающие твердость по отношению к классам с квантификаторами . Если вы добавите квантификаторы, AC ^ 0 теряет смысл. (Это то же самое, что и NP, как было показано Cook и Levin.) Детерминированные экстракторы, однако, эквивалентны выборке нижних границ, см. ( Ccs.neu.edu/home/viola/papers/stone.pdf ), где экстракторы для AC ^ 0 также получены.

— Ману,

3

Это пахнет как потенциальная запись в блоге cstheory, если кому-то может быть интересно :)

— Suresh Venkat

Суреш: Хорошая идея, хотя я не знал о блоге :) ... Эмануэле: Хороший вопрос. Это действительно верно для выборочных источников, определенных Тревизаном и Вахданом. Однако необходимость в квантификаторах устраняется, если учесть двойное понятие «узнаваемые источники». Для случая AC0 это будет класс распределений, которые равномерно распределены по нулевым прообразам некоторой схемы AC0. Действительно, вы можете получить экстрактор для источников, распознаваемых цепями AC0, используя некоторую жесткую функцию для AC0. (продолжение ...)

— MCH

... Однако явные жесткие функции, известные для AC0, такие как четность, не гарантируют экспоненциально малую безопасность (преимущество перед случайным угадыванием), поэтому вы получите экстрактор для входной энтропии n (1-o (1)), если будете использовать их напрямую , Я думаю, что лучшие результаты получены Шалтиэлем, если использовать дальнейшие уловки.

— MCH

13

Салил Вадхан написал мне, что ответ на мой вопрос известен, и PRG эквивалентны экстракторам.

Цитирую его:

«См. Предложение 21 и обсуждение этого вопроса в моем обзоре http://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdf (есть опечатка -« усилитель жесткости черного ящика »должен быть« черным » строительство коробки PRG ")

В нем говорится, что экстракторы эквивалентны конструкциям PRG «черного ящика», в которых вы заботитесь только о количестве советов, а не о времени работы при сокращении. Запрос ограниченного времени выполнения равносилен запросу экстракторов с "локальным декодированием списка". "

— Дана Мошковиц
источник

8

Есть хорошая статья Криса Уманса по аналогу этого вопроса для диспергаторов: http://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

Он показывает, что диспергаторы, которые имеют процедуру восстановления за полиномиальное время, но не обязательно имеют локальное свойство декодирования, подразумевают существование генераторов попаданий множества.

Вот еще один способ его просмотра: экстракторы могут рассматриваться как восстанавливаемые списком коды (что является более сильным вариантом декодируемых списком кодов), а PRG черного ящика могут рассматриваться как локальные извлекаемые списком коды. Диспергаторы могут рассматриваться как списочно-восстанавливаемые коды для нулевой ошибки. Крис показывает, что восстанавливаемый списком код для нулевой ошибки, который имеет процедуру восстановления списка за полиномиальное время, подразумевает существование восстанавливаемого списком кода с локальной процедурой восстановления списка.

— Или меир
источник