Категория имеет бипродукты, когда одни и те же объекты являются как продуктами, так и копроизведениями. Кто-нибудь исследовал теорию доказательств категорий с бипродуктами?
Возможно, наиболее известным примером является категория векторных пространств, в которой конструкции прямой суммы и прямого произведения дают одно и то же векторное пространство. Это означает, что векторные пространства и линейные отображения являются слегка вырожденной моделью линейной логики, и мне любопытно, на что была бы похожа теория типов, которая принимает это вырождение.
1
Может быть, Cockett & Seely? Возможно Введение в Линейные Бикатегории, или что-то еще от math.mcgill.ca/~rags .
—
Дэйв Кларк
Возможно, «bi» в «bi-products» вводит в заблуждение: это не какая-то 2-категориальная вещь, это просто то, что происходит, когда одни и те же объекты являются одновременно продуктами и сопутствующими продуктами (плюс некоторые условия согласованности) в обычных категориях.
—
Нил Кришнасвами
Может быть, их бумаги: FINITE SUM - ЛОГИКА ПРОДУКТА
—
Дэйв Кларк
Слегка вырожденный? Я считаю, что идентификация продуктов и сопутствующих продуктов подразумевает идентификацию исходного и конечного объекта, которые обычно являются пустыми и одноэлементными типами, интерпретируемыми как тривиальная ложь и истина, соответственно. В линейной логике я думаю, что это сводит всю аддитивную половину логики к самодвойственной операции с тождеством, которое уничтожает оба умножения. С другой стороны, мультипликативный фрагмент имеет тенденцию быть более конструктивной половиной линейной логики, поэтому, возможно, это приводит к чему-то интересному ...
—
CA McCann
@camccann: математика вне логики. В коммутативной алгебре исходный и конечный объект обычно совпадают, а также копроизведены и продукты. Например, тривиальная абелева группа является как начальной, так и конечной. Объект, который является как начальным, так и конечным, называется нулевым объектом. Посмотрите на абелевы категории, чтобы понять, как все это работает.
—
Андрей Бауэр