Пьяные птицы против пьяных муравьев: случайные прогулки между двумя и тремя измерениями

Хорошо известно, что случайное блуждание в двумерной сетке вернется в начало координат с вероятностью 1. Также известно, что такое же случайное блуждание в ТРЕХ измерениях имеет вероятность, строго меньшую 1, возврата в начало координат .

Мой вопрос:

Есть что-то среднее? Например, предположим, что мое пространство на самом деле было ограниченной областью плоскости, выдвинутой на бесконечность в направлении z. (что часто называют 2,5-мерным). Применяются ли двумерные результаты или трехмерные?

Это возникло в дискуссиях, и один эвристический аргумент, говорящий, что он ведет себя двумерно, заключается в том, что, поскольку конечная область плоскости будет в конечном итоге покрыта, единственной нетривиальной частью обхода является одномерный луч вдоль направления z, и поэтому возвращаемся с происхождением случится.

Есть ли другие формы, которые интерполируют между двумерным и трехмерным делом?

Обновление (извлечено из комментариев): связанный вопрос был задан по МО - краткое резюме состоит в том, что если прогулка является четной (2 + ϵ) размерной, то неопределенная доходность вытекает свободно из расходящихся рядов. Тем не менее, вышеупомянутый вопрос немного отличается от ИМО, так как я спрашиваю о других видах фигур, которые могут допустить определенный возврат.

pr.probability random-walks markov-chains

— Суреш Венкат
источник

Не очень разбираюсь в теме, но мне в голову пришла перколяция! Как насчет случайной прогулки по фильтрам? Кажется вероятным быть кандидатом на дробные результаты измерений для любого .

n > 1

$n > 1$

— против

в каком смысле вы имеете в виду промежуточный? Кажется, что между 1 и строго ниже 1 не так много; Итак, вы хотите, чтобы промежуточный интервал был относительно размера пространства? Другими словами, должен ли любой ответ быть прогулкой по чему-то с естественной мерой измерения?

— Артем Казнатчеев

Примечание: связанный вопрос был задан на MO: mathoverflow.net/questions/45098/… - краткое резюме состоит в том, что если прогулка является даже размерной, то неопределенная доходность вытекает свободно из расходящихся рядов. Тем не менее, вышеупомянутый вопрос немного отличается, так как я спрашиваю о других видах фигур, которые могут допустить определенный возврат.

(2 + ϵ)

$(2+\epsilon)$

— Суреш Венкат

Случайные прогулки по фрактальным кривым .

— Аарон Стерлинг

Для ограниченной области плоскости, вытянутой на бесконечность вдоль оси , мы имеем дело с утолщенной линией, а не с откормленной плоскостью; как таковой, я ожидал бы, что поведение будет ближе к одномерному случаю, чем двумерный случай.

z

$z$

— Джеймс Кинг,

Ответы:

Вероятность на деревьях и сетях Переса и Лиона упоминает об этом в главе 2 (стр. 50):

Один из способов понять это - спросить о типе пространств, промежуточных между и . Например, рассмотрим клин $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{Z}^3$

$W_{е} знак равно {(Икс, Y, Z) : | Z | \leq е (| Икс |)}$ $W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$
где является возрастающей функцией. Количество ребер, которые оставляют имеет порядок , так что согласно критерию Нэша-Уильямса, $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ $W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$ $n(f(n)+1)$

$\underset{N \geq 1}{Σ} \frac{1}{N (е (N) + 1)} знак равно \infty$ $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$
достаточно для повторения.

— Марчин Котовски
источник

Это отличный справочник, и в нем есть общий метод определения того, когда такие прогулки расходятся. Ницца !

— Суреш Венкат

3-D случайное блуждание в пространстве 3x3x3 (например, кубик Рубика) с вероятностью менее одного возврата к исходной точке, если блуждание начинается снаружи; но пространство 2x2x2 равно единице, как и пространство 3x3x3 с началом координат в центре. Таким образом, кажется, что есть некоторые промежуточные формы, но, возможно, не очень много.

— xpda
источник

Но тороид двумерный. Я не нахожу удивительным, что он вернется к исходной точке. Похоже, особый случай 2D.

— Джон Мёллер

И ограничено! Возвращаться к началу координат должно быть еще проще, чем в самолете.

— Деррик Столи

Ой, ты прав. Я отредактирую это к другой форме.

— xpda