Известны ли проблемы PRIMES, FACTORING как P-hard?

Пусть PRIMES (иначе тестирование на примитивность ) будет проблемой:

Учитывая натуральное число , является простое число? $n$ $n$

Пусть FACTORING будет проблемой:

Учитывая натуральные числа , с , имеет ли фактор с ? $n$ $m$ $1 \leq m \leq n$ $n$ $d$ $1 < d < m$

Известно ли, что PRIMES P-hard? Как насчет ФАКТОРИНГА? Каковы наиболее известные нижние оценки для этих проблем?

— км
источник

Нет, IIRC открыт, если Primes является P-hard. Я думаю, что то же самое относится и к фактору.

— Каве

Я предполагаю, что альтернативный вопрос может быть: есть ли какие-либо последствия для PRIMES или FACTORING, потому что P-hard?

— Суреш Венкат

@Suresh: это хороший вопрос. Не могли бы вы опубликовать это отдельно?

— Андрас Саламон

На самом деле его уже просили о факторинге: cstheory.stackexchange.com/questions/5096/…

— Суреш Венкат

@ Артем, я согласен с Андрасом, вопрос о последствиях P-твердости простых чисел был бы интересен. Я также отредактировал вопрос, добавив вопрос о наиболее известных нижних границах.

— Каве

ПРЕМЬЕРЫ, как известно, трудны для . См. Мою статью с Саксом и Шпарлинским, « Нижняя граница для первичности » в JCSS 62 (2001). Никаких улучшений на этом фронте с тех пор. $\mathsf{TC^0}$

— Эрик Аллендер
источник

\frac{1}{n}

$\frac1 n$

n

$n$

A C C^{0}

$ACC^0$