Сетка

37

Обновление : теперь известен набор препятствий (то есть «барьер» NxM между размерами окрашиваемой и неокрашиваемой сетки) для всех четырехцветных цветов без монохроматического прямоугольника .

Кто-нибудь испытывает желание попробовать 5 цветов? ;)

Следующий вопрос возникает из теории Рамсея .

Рассмотрим -раскраска в матрицу с размерностью сетки графика. A существует всякий раз, когда четыре ячейки одного цвета расположены как углы некоторого прямоугольника. Например, и образуют монохроматический прямоугольник , если они имеют один и тот же цвет. Аналогично, $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ и образуют монохроматический прямоугольник, если цвета с тем же цветом. $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

Вопрос : существует ли - цвет сетки , который не содержит монохроматического прямоугольника? Если так, предоставьте явную раскраску. $4$ $17$ $17$

Некоторые известные факты:

матрицаразмерностью является -раскрашиваемым без монохроматического прямоугольника, но известная схема окраски не представляется распространяться на матрицуразмерностью случая. (Я опускаю известные матрицуразмерностью окраскупотому что это очень вероятнобудет отвлекающим маневр для принятия решения матрицыразмерностью ) $16$ $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
матрицыразмерностью этоНЕ -раскрашиваемыми без монохроматического прямоугольника. $18$ $19$ $4$
- и - также неизвестные случаи; ответ на них был бы также интересен. $17$ $18$ $18$ $18$

Отказ от ответственности: Билл Гасарч имеет вознаграждение в размере 289 долларов США за положительный ответ на этот вопрос; Вы можете связаться с ним через его блог. Примечание по этикету: я позабочусь, чтобы он знал источник любого правильного ответа (если он возникнет).

Он снова поднял этот вопрос во время сногсшибательного сеанса на «Барьерах II», и я нахожу это интересным, поэтому я задаю этот вопрос здесь (без его ведома, хотя я сильно сомневаюсь, что он будет против).

— Даниэль Апон
источник

11

Просто хочу добавить несколько ссылок / указателей: кроме постов в блоге [1,2], обновления в блоге бит-плейера [3,4] детальны и проницательны. Все эти посты были предметно обсуждены. [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report Примечание. В комментариях нет форматирования уценки? Как я могу сделать красивые ссылки?

— Нилдхара

Это отличные ссылки. Спасибо, Нилдхара! :)

— Даниэль Апон

Кроме того, спасибо за размещение этого здесь - я следил за развитием событий в течение некоторого времени, и это должно разжечь интерес к проблеме!

— Нилдхара

2

@ Морон: Да, вам нужно учитывать только те прямоугольники, стороны которых параллельны осям. Кстати, к этому есть и угол теории сложности: Билл предположил, что, учитывая частичную k-раскраску сетки m на n, определение того, можно ли раскрасить без прямоугольников, является NP-полным.

— Курт

2

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

23

Некоторые из вас, вероятно, знают об этом, но проблема раскраски 17 x 17 была решена Берндом Штейнбахом и Кристианом Постхоффом. Смотрите сообщение в блоге Gasarch здесь .

— Лев Рейзин
источник

8

Кроме того, сетка 18x18 4-цветная без монохроматических прямоугольников ... теперь единственной «недостающей плиткой» является сетка 21x12

— Марцио Де Биаси

13

На самом деле это не ответ на вопрос, но я закодировал задачу 4-раскраски 17x17 как 4-CNF (в стандартном формате DIMACS для SAT-решателей) и загрузил ее здесь . Если у кого-то есть доступ к хорошему SAT-решателю (и суперкомпьютеру!), Возможно, мы сможем добиться определенного прогресса.

$(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— Лев Рейзин
источник

3

Потрясающе. (У меня действительно есть доступ к суперкомпьютеру.) Рабочие числа следующего шага, чтобы оценить время выполнения этой вещи на конкретной машине. Кто знает, является ли это разумным, но это другой подход, на который я смотрел. Теперь

— пришло

Оказывается, проблема, о которой я думал, была на #SAT, поэтому я начал новый вопрос о решателях SAT на cstheory.stackexchange.com/questions/1719/…

— Даниэль Апон,

Отлично - дайте мне знать, как это происходит!

— Лев Рейзин

4

@Lev, просто случайное обновление: кажется, что время выполнения 17x17, даже с использованием самого лучшего суперкомпьютера и действительно быстрого SAT-решателя, все еще остается астрономическим. Плюс: в рамках разума кажется, что нужно атаковать это с помощью суперкомпьютера целевым образом, то есть найти точные частичные 1-раскраски, которые будут работать (уже сделано вручную Бет Купкин в Rutgers), а затем найти точные частичные 2 -краски, которые будут работать от этого и т. д. Обратная сторона: «быстрого решения» не существует; это должен быть долгосрочный проект с несколькими этапами исполнения суперкомпьютера

— Даниэль Апон

1

@ Джо, однако! Вот «таблица лидеров» текущих лучших приблизительных раскрасок: Таблица лидеров - похоже, что имитированный отжиг работает довольно хорошо для поиска приблизительных расцветок.

— Даниэль Апон

4

Это тоже не настоящий ответ. Конечно, проблема здесь заключается в наличии астрономического числа симметрий, которые обманывают даже лучшие решатели SAT на лучших суперкомпьютерах. Такие симметрии отображают решения для решений и не решения для не-решений: в этом случае, вероятно, существует огромное количество почти-решений (т.е. присваиваний, удовлетворяющих всем, кроме небольшого количества предложений), каждое из которых может быть получено любым другим применяя правильную симметрию. Следовательно, решатель тратит огромное количество времени, пытаясь найти каждое из этих почти решений, хотя в определенном смысле они все одинаковы.

Использование симметрий (см. Эту статью) должно стать способом исследования, чтобы атаковать этот жесткий экземпляр 17x17 и добиться некоторого прогресса в этом. Интересно, кто-нибудь уже пытался это сделать?

— Джорджо Камерани
источник

Эй, это очень мило! :) Не видел этого раньше.

— Даниэль Апон

@Daniel: Добро пожаловать! ;-) Надеюсь, это поможет.

— Джорджио Камерани

Я использовал программу Aloul «Shatter» для нескольких кодировок задачи 17x17 и провел несколько недель процессора в нескольких разных SAT-решениях, и мне не повезло. Бумага, на которую ссылается Уолтер, на самом деле является первой из дюжины или чего-то такого, что он написал на эту тему, так что там может быть что-то, что сработает, но это не низко висящий фрукт.

— Джей Коминек

3

Опять же, не реальный ответ, но в любом случае, вот некоторые мысли о принятии алгоритмов раскраски графа для этой проблемы.

$I$ $I$

$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$
$n$ $m$ $k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

Если семейство всего (максимального) независимого множества имеет достаточно красивую структуру, также может быть возможно точно настроить алгоритм произведения покрытия.

— Янне Х. Корхонен
источник

Как претензия 3 эквивалентна претензии 2? Между прочим, максимальный независимый набор для 17x17 имеет размер 74, как показано в статье Элизабет Купин (pdf) . Существует только один такой набор, не считая перестановки строк и столбцов как отличных.

— Нулевой сет

Я имею в виду максимальный в том смысле, что ни один суперсет не является независимым, как это принято в информатике. Максимум - это слово, которое обычно используется в значении «максимально возможного размера».

— Янне Х. Корхонен

В этом случае набор максимальных независимых наборов содержит все перестановки строк / столбцов уникального набора размера 74 и не содержит независимых наборов размера 73, поскольку все они являются подмножествами набора размера 74. Я не уверен, что он имеет от размеров 67 до 72.

— Нулевой набор

3

Сетка 21x12 также 4-цветная без монохроматических прямоугольников !!!

Смотрите последний пост Бернда Стейнбаха в блоге Гасарха !

— Марцио де Биаси
источник

-4

Это Билл Бурис. Привет, Дэн. Я работаю над программой, которая ищет подходящую матрицу 17x17, которая показывает раскраску без 4 в соответствии с теорией Рэмси. Я использую позиционную матрицу, изображающую все связи между точками, и фиксирую основную диагональ и позволяю верхнему ряду матрицы проходить через все возможные комбинации из 16 вариантов выбора; Я фиксирую только те матрицы, которые соответствуют следующим критериям: no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB и т. Д., А затем пролистываю матрицу, используя следующую самые слабые критерии ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB и т. д. В общей сложности 32 развертки, пока компьютер автоматически не закрасит окраску. Я заметил, что на каждые 400 матриц есть возможный кандидат из 12780, и для поиска кандидата требуется 0,95 часа или 1 на каждые 8. 644 секунды Это идет вперед, но у меня не так много времени, чтобы программировать это ... так как я работаю полный рабочий день. Мы должны работать вместе ... Я мог бы использовать $ 289,00!

— Уильям Бурис
источник

Билл Гасарч должен платить только 128 долларов.

— Уильям Бурис

извините за это ... 272/2 или 136 долларов

— Уильям Бурис

4

Это не ответ на вопрос. лучше всего в качестве комментария.

— Суреш Венкат