Чувствительность свойств графика

В [1] Turan показывает, что чувствительность (называемая в статье «критической сложностью») свойства графа строго больше, чем где- количество вершин в графе. Он продолжает предполагать, что любое нетривиальное свойство графа имеет чувствительность. Он упоминает, что это было проверено для. Был ли достигнут какой-либо прогресс в этой гипотезе? $\lfloor {1\over 4} m \rfloor$ $m$ $\geq m-1$ $m \leq 5$

Фон

Пусть - двоичная строка в . Определите для как строку, полученную из путем переключения бита . Для булевой функции \ to определите чувствительность в как $x$ $\{0,1\}^n$ $x^i$ $1 \leq i \leq n$ $x$ $i^{th}$ $f: \{0,1\}^n$ $\{0,1\}$ $f$ $x$ , И, наконец, определитьчувствительностьиз как $s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$ $f$ . $s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Граф свойство представляет собой набор графиков , такие , что если и изоморфна то . Мы можем рассматривать свойство графа как объединение свойств где - это подмножество состоящее из графов с вершинами. Кроме того, мы можем представить свойство графа как булеву функцию на где $\mathcal P$ $G \in \mathcal P$ $G'$ $G$ $G' \in \mathcal P$ $\mathcal P$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P_m$ $\mathcal P$ $m$ $\mathcal P_m$ $\{0,1\}^n$ . Мы можем закодировать граф навершинах в двоичном векторе длины; каждая запись в векторе соответствует паре вершин, и эта запись равнаесли ребро присутствует в графе. Таким образом, чувствительность свойства графа является его чувствительностьусловиембулевой функции. $n = {m \choose 2}$ $m$ $n$ $1$

Туран, Г., Критическая сложность свойств графов, Письма обработки информации 18 (1984), 151-153.

graph-theory property-testing

— mhum
источник

Вы видели опрос 2002 года Бермана и де Вольфа ( homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/dectree.ps )? он не отвечает на ваш вопрос напрямую, но содержит больше информации о чувствительности функций в целом, а также о свойствах монотонных графов.

— Суреш Венкат

необходимо кодирование

битов

((\binom{m}{2}) + 1) \log m

$(\binom{m}{2}+1)\log m$

— Диего де Эстрада

Обзор, на который указал Суреш, приводит статью Вегенера [1], которая частично подтверждает гипотезу. Он выполняется для всех свойств монотонного графа, и неравенство является жестким (рассмотрим свойство «Не имеет изолированных вершин»). Любые более свежие результаты также будут оценены.

Вегенер Л. Критическая сложность всех (монотонных) булевых функций и свойства монотонных графов. Информация и контроль , 67: 212-222, 1985.

— mhum
источник