Продолжение Чернова

13

Я ищу ссылку (не доказательство того, что я могу сделать) на следующее расширение Черноффа.

Пусть $X_1,..,X_n$ - булевы случайные величины, не обязательно независимые . Вместо этого гарантируется, что $Pr(X_i=1|C)<p$ для каждого $i$ и каждого события $C$ которое зависит только от $\{X_j|j\neq i\}$ .

$\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

Заранее спасибо!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— любопытный
источник

26

Вам нужна обобщенная граница , которая предполагает только для любого подмножества S переменных индексов. Последнее следует из вашего предположения, поскольку для , Импальяццо и Кабанец недавно дали альтернативное доказательство оценки Чернова, в том числе обобщенное. В их статье вы можете найти все соответствующие ссылки на предыдущие работы: http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

P (\underset{i \in S}{⋀} X_{i}) = P (X_{i_{1}} = 1) P (X_{i_{2}} = 1 | X_{i_{1}} = 1) \dots P (X_{i_{| S |}} = 1 | X_{i_{1}}, . . ., X_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$

— Дана Мошковиц
источник

Благодарю за разъяснение! На самом деле их состояние подразумевается как тем, что я имею, так и отрицательными корреляциями. Так что это действительно качественно сильнее (я как-то упустил тот момент, когда услышал разговор Валентина). Теперь доказательство того, что мне нужно, становится настолько коротким, что я с радостью отмечаю свой вопрос как ответивший, большое спасибо !!

— любопытно

3

В вашем случае вы можете просто создать субмартингал из ваших переменных и использовать классическое неравенство Азумы с тем же эффектом. Чтобы это работало, вам нужно только, чтобы что подразумевается вашим предположением.

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— MCH

7

Самые близкие вещи, о которых я знаю в литературе, - это расширение границ Черноффа на отрицательно коррелированные случайные величины, например, посмотрите это или это . Формально ваше состояние может быть выполнено без отрицательной корреляции, но идея похожа.

Поскольку ваше обобщение не трудно доказать, возможно, никто не потрудился написать его.

— Лев Рейзин
источник

Вы правы, это было также ближе всего, что я нашел (в "Концентрация ... для анализа ... алгоритмов"). Дело в том, что моя рукопись становится слишком длинной, и я хотел бы избежать еще одного побочного эффекта, если это возможно. Если нет, у меня не будет выбора ...

— любопытно

3

это то, для чего нужны Приложения :)

— Лев Рейзин

2

Эй, ребята, это было доказано ранее, и я дал ссылку в своем ответе (где вы также можете найти все другие соответствующие ссылки).

— Дана Мошковиц

Ой - круто. Я как-то не заметил твой ответ!

— Лев Рейзин

3

Альтернативной ссылкой может быть Лемма 1.19 в Б. Доерре, Анализ эвристики рандомизированного поиска: Инструменты из теории вероятностей, Теория эвристики рандомизированного поиска (А. Ожер и Б. Доерр, ред.), World Scientific Publishing, 2011, стр. 1- 20.

Проще говоря, это показывает, что когда с вероятностью независимо от того, на каких условиях вы ставите , тогда удовлетворяют всем границам Черноффа-Хоффдинга, которые действительны для независимых двоичные случайные величины с вероятностью успеха соответственно. Доказательство является элементарным, а результат - естественным, так что, я думаю, никто не чувствовал необходимости писать его. $X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$

— Бенджамин Доерр
источник