Кратчайшая формула для n-членного монотонного CNF

Монотонная формула CNF с m членами на n переменных ( ) - это формула вида , где каждый является ИЛИ некоторого подмножества переменных и находятся в диапазоне от до . f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Например, - это монотонная формула CNF с 2 членами на 4 переменных.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Я ищу самую короткую формулу (не обязательно монотонную, не обязательно CNF, подойдет любая формула!) Для того же набора переменных, который представляет ту же функцию, что и заданная монотонная формула CNF для n переменных с n членами. (Обратите внимание, что количество терминов и переменных одинаково.)

Одним из очевидных способов построения формулы является расширение данного определения CNF, которое даст нам формулу размера . (Давайте определим размер формулы как длину формулы, когда она записана в виде строки.) Я хочу знать, является ли это наиболее эффективной общей конструкцией или существует ли для каждого n-членного монотонного CNF формула? размером .o ( n 2$O(n^2)$$o(n^2)$

Я просто хочу знать, возможно ли это, меня не очень интересует алгоритм. Если это невозможно, функция, которая служит контрпримером, была бы великолепна. Указатели на то, где я могу найти ответ в литературе, также приветствуются.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я добавляю пример, чтобы сделать яснее.

Скажем, входная формула имеет вид . Это монотонная формула CNF. Более короткая формула , которая представляет собой ту же самую функцию , состоит в следующем: х 1 ∨ ( х 2 ∧ х 3 ∧ ... ∧ х п ) .$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

Вы можете получить нижнюю границей , используя счетную аргумент: есть е х р ( п 2 ) п термы У на п переменных (это легко , но требует немного заботы, чтобы убедиться , что перерасчет не существует), но есть формулы e x p ( s log s ) (или даже схемы) размером не более s . $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

Кажется , что выигрыш в последний фактор будет трудно , так как это потребовало бы доказать квадратичная нижняя граница по формуле размера, и я думаю, что некоторые существующие методы для этого не хватает. O ( n 2 / log n ) может даже быть правильным ответом - по крайней мере, для размера схемы - с использованием некоторой техники, подобной четырем русским .$\log n$$O(n^2/\log n)$

Учтите, что для любого CNF вы можете вычислить множество простых импликатов (из которых любой минимум должен быть подмножеством), взяв замыкание в соответствии с разрешением и применив исключение из подсчета.

Однако в случае любого монотонного CNF закрытие разрешения F равно F (поскольку отрицательных литералов нет, разрешение невозможно). Следовательно, минимальный CNF - это множество простых импликатов, и это именно та формула, которую вы уже имеете.$F$$F$$F$

Конечно, я предполагаю, что вы не хотите вводить новые переменные.

Если вы хотите убедиться, что у вас есть какая-то формула, которая имеет терминов, то, как вы предлагаете, единственный способ получить это - расширить некоторые пункты, добавив отсутствующие переменные. Любой такой CNF должен иметь одинаковое количество литералов (размер, который, как я полагаю, вы полагаете) для фиксированных f и n .$n$$f$$n$