Перманент матрицы и из определителей

Пусть будет матрица или с элементами . Может ли кто-нибудь предоставить мне матрицу чтобы ? Что такое наименьший явный который известен таким образом, что ? Любые ссылки на это с явными примерами? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Некоторыми ограничениями могут быть следующие случаи:

Случай $(1)$ Только линейные функционалы допускаются в качестве записей $B$ .

Случай $(2)$ Нелинейные функционалы допускаются при условии, что каждый член имеет не более $O(log(n))$ степени (степень - сумма степеней переменных), где $n$ - размер вовлеченной матрицы. В нашем случае до степени $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— против
источник

@vs Какие ограничения на ? Если их нет, то является матрицей с , но Я предполагаю, что это не то, что вы имели в виду. Как правило , один дает элементы матрицы , чтобы быть аффинные линейные функции переменных в .

B

$B$

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$

1 \times 1

$1 \times 1$

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Тайсон Уильямс

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

Для согласованности я переключил обозначения с на . $c(n)$ $dc(n)$
Vs в комментариях спросили, обобщает ли мой ответ более высокие измерения. Это делает и дает верхнюю границу по любому полю: См. Мой черновик об этом: верхняя граница для постоянной и детерминантной проблемы . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/РЕДАКТИРОВАТЬ]

[Дополнительный комментарий: я думаю, что вы могли бы редактировать свой предыдущий вопрос вместо создания нового.]

У меня есть следующий ответ для вас:

в (\begin{matrix} a & б & с \\ d & е & е \\ г & час & я \end{matrix}) знак равно йе (\begin{matrix} 0 & a & d & г & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & я & е & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & с & я \\ 0 & 0 & 0 & 1 & с & 0 & е \\ е & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ час & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ б & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Обратите внимание, что в поисках таких ссылок о явных примерах я не смог найти ни одного, и поэтому приведенный мною пример является примером, который я построил.

Этот вопрос, который вы задаете, обычно называют «Постоянная и детерминантная проблема». Предположим , что нам дана матрица , и мы хотим , наименьшую матрицу такой , что . Обозначим через размеры наименьшего такого . Вот исторические результаты: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Сегё 1913] $dc(n)\ge n+1$
[фон Гатен 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 в характеристике $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen & Li 2008] в характеристике . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Это показывает, что (верхняя граница - матрица, приведенная выше). $5\le dc(3)\le 7$

Поскольку я ленивый, я просто даю вам одну ссылку, где вы можете найти другие. Это самая последняя статья, которую я цитировал, Цай, Чен и Ли: квадратичная нижняя оценка для постоянной и определяющей задачи над любой характеристикой $\neq 2$ .

Если вы читаете по-французски, вы также можете посмотреть мои слайды на эту тему: « Постоянный против детерминанта» .

— Bruno
источник

Большое спасибо. Я забыл упомянуть, что я был знаком с линейными и квадратичными нижними оценками. Ваш пример ново для меня и , конечно , я буду смотреть на свои французские Слайдах :)

— против

Чтобы преобразовать формулу в определитель, это (классический?) Результат, полученный Valiant в 1979 году. Мы объясняем этот результат в нашей статье в разделе 2.1 (см. [ Arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Бруно

При обратите внимание, что в O (n2 ^ n) есть константа, поэтому значение 24 не является правильным. Тем не менее, я думаю, что мой пример лучше, чем просто применение формулы Райзера + построение Валианта. Это вполне нормально, поскольку можно представить, что переход от перманента к формуле, а затем обратно к определителю - не лучший способ. Я бы не сказал, что мой пример "лучше, чем у Райзера", поскольку цели не совпадают. Отметим также, что формулы Глиннсора или Райзера не так хороши, как тривиальные формулы для , они бьют ее только асимптотически.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Бруно

У меня был новый взгляд на газету JY Cai. Теорема 3 дает лучшую оценку: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Бруно

@ Бруно: отличный ответ!

— Дай Ле