Существует ли аналог теории теоремы Райса в теории вычислимости?

Теорема Райса утверждает, что каждое нетривиальное свойство множества, распознаваемое некоторой машиной Тьюринга, неразрешимо.

Я ищу теорему о сложности теории Райса, которая говорит нам, какие нетривиальные свойства NP-множеств неразрешимы.

Доказательство такой теоретической версии теоремы Райса стало для меня мотивацией для изучения запутывания программ.

Теорема Райса говорит по существу, что трудно понять функции, которые программы вычисляют, учитывая программу. Однако причина, по которой эти проблемы неразрешимы, в том, что они бесконечны. Даже на одном входе программа может никогда не остановиться, и мы должны рассмотреть, что программа делает с бесконечным количеством входов.

Окончательная версия теоремы Райса исправит размер ввода и время выполнения программы и скажет, что программа трудна для понимания. После того, как вы это исправите, вы можете также рассматривать программу как логическую схему. Какие свойства функции, вычисляемой булевой схемой, трудно вычислить? Одним из примеров является `` не всегда 0 '', который представляет собой NP-полную проблему удовлетворенности. Но, в отличие от теоремы Райса, есть некоторые свойства, которые не являются тривиальными, но простыми даже без понимания схемы. Мы всегда можем знать, что: функция, вычисляемая схемой, имеет ограниченную сложность схемы (размер схемы). Также мы всегда можем оценить схему на входах по нашему выбору.

$f_C$$n$$|C|$$f_C$$n$$x$$x$$f(0..0)=1$$f_C$

Пока этот вопрос открыт, насколько я знаю, наш намеченный подход был исключен. Мы надеялись доказать это, показав, что криптографически безопасная обфускация программы возможна. Однако Вооз доказал обратное: это было невозможно. Это неявно показывает, что доступ черного ящика к каналам более ограничен, чем полный доступ к описанию схемы, но доказательство неконструктивно, поэтому я не могу назвать какое-либо свойство, как указано выше, легко, учитывая описание схемы, но не с черным доступ к Интересно (по крайней мере, для меня), если такое свойство можно было бы пересмотреть из нашей статьи.

Вот ссылка: Боаз Барак, Одед Голдрайх, Рассел Импальяццо, Стивен Рудич, Амит Сахай, Салил П. Вадхан, Ке Янг: о (Im) возможности запутывания программ. КРИПТО 2001: 1-18

За эти годы было доказано несколько таких теорем. Совсем недавно были предприняты попытки установить теоремы «рисового стиля» для задач на схемах. (Естественно заменить «машины» на «схемы». Как только вы это сделаете, общее число возможных входных данных станет фиксированным, поэтому у вас не будет проблем с неразрешимостью.) Две ссылки:

Бернд Борхерт, Фрэнк Стефан: В поисках аналога теоремы Райс в теории сложности цепей. Математика Журнал. Q. 46 (4): 489-504 (2000)

Лейн А. Хемаспандра, Йорг Роте: Второй шаг к теоретико-сложным аналогам теоремы Райса. Теор. Вычи. Sci. 244 (1-2): 205-217 (2000)

Вот пример результата: «Каждое непустое свойство правильного подсчета схем является UP-трудным». Вы можете прочитать статьи для определений, но это примерно означает, что любое свойство, зависящее от количества удовлетворяющих назначений для схемы, является трудным для класса UP (следовательно, неразрешимым).

Существует также более ранняя работа по теореме Райса о теореме сложности, в другом ключе. Я не знаком с этим, но вышеупомянутые документы действительно цитируют их.

$NP$$NP$$NP$ -твердым.