Теоремы о неподвижной точке для конструктивных метрических пространств?

Теорема Банаха о неподвижной точке говорит, что если у нас есть непустое полное метрическое пространство , то любая равномерно сжимающая функция имеет единственную неподвижную точку . Однако доказательство этой теоремы требует аксиомы выбора - нам нужно выбрать произвольный элемент чтобы начать итерацию , чтобы получить последовательность Коши . f : A → A μ ( f ) a ∈ A f a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( a ) , $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. Как формулируются теоремы о неподвижной точке в конструктивном анализе?
2. Кроме того, есть ли краткие ссылки на конструктивные метрические пространства?

Причина, по которой я спрашиваю, состоит в том, что я хочу построить модель Системы F, в которой типы дополнительно несут метрическую структуру (среди прочего). Весьма полезно, что в конструктивной теории множеств мы можем составить семейство множеств , такое, что замкнуто относительно произведений, экспонент и семейств, индексированных по , что упрощает создание модели системы F.U $U$$U$$U$

Было бы очень хорошо, если бы я мог создать аналогичное семейство конструктивных ультраметрических пространств. Но поскольку добавление выбора в конструктивную теорию множеств делает ее классической, очевидно, мне нужно быть более осторожным в отношении теорем о неподвижной точке и, возможно, других вещей.

Аксиома выбора используется, когда существует набор «вещей», и вы выбираете один элемент для каждой «вещи». Если в коллекции есть только одна вещь, это не аксиома выбора. В нашем случае у нас есть только одно метрическое пространство, и мы «выбираем» точку в нем. Так что это не аксиома выбора, а исключение экзистенциальных кванторов, т. Е. У нас есть гипотеза и мы говорим "пусть таково, что ". К сожалению, люди часто говорят « выберите такой что », что тогда выглядит как применение аксиомы выбора.x ∈ A ϕ ( x ) x ∈ A ϕ ( x $\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$$\phi(x)$

Для справки приведем конструктивное доказательство теоремы Банаха о неподвижной точке.

Теорема: сжатие на обитаемом полном метрическом пространстве имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Предположим, что - обитаемое полное метрическое пространство, а - сжатие. Поскольку является сокращением, существует такое, что и для всех ,f : M → M f α 0 < α < 1 d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$

Предположим, что и - фиксированная точка . Тогда имеем из чего следует, что , следовательно, и . Это доказывает, что имеет не более одной фиксированной точки.v f d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) ≤ 0 d ( u , v ) = 0 $u$$v$$f$

Осталось доказать существование неподвижной точки. Поскольку населен существует . Определите последовательность рекурсивно с помощьюПо индукции мы можем доказать, что . Отсюда следует, что - последовательность Коши. Поскольку завершена, последовательность имеет предел . Поскольку - сокращение, оно равномерно непрерывно и поэтому коммутирует с пределами последовательностей: Таким образом, является фиксированной точкойx 0 ∈ M ( x i ) x i + 1 = f ( x i ) . d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) ( x i ) M y = lim i x i f f ( y ) = f $M$$x_0 \in M$$(x_i)$

Примечания:

1. Я был осторожен, чтобы не сказать «выбрать » и «выбрать ». Такие вещи часто говорят, и они только добавляют путаницы, которая мешает обычным математикам определять, что является аксиомой выбора, а что нет.$\alpha$$x_0$

2. В части единственности доказательства люди часто без необходимости предполагают, что существуют две разные фиксированные точки, и получают противоречие. Таким образом, им удалось только доказать, что если и являются неподвижными точками то . Так что теперь им нужно исключить середину, чтобы добраться до . Даже для классической математики это неоптимально и просто показывает, что автор доказательства не придерживается хорошей логической гигиены.$u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. В доказательственной части доказательства последовательность зависит от экзистенциального свидетеля мы получим, исключив предположение . Там нет ничего плохого. Мы делаем такие вещи постоянно. Мы ничего не выбрали. Подумайте об этом так: кто-то еще дал нам свидетельство о населенности , и мы можем что-то с этим сделать.$(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. Классически « обитаем» ( ) и « непусто» ( ) эквивалентны. Конструктивно первое имеет больше смысла и полезно.∃ х ∈ М . ⊤ М ¬ ∀ х ∈ М . $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. Поскольку мы показали уникальность фиксированных точек, мы фактически получаем оператор с фиксированными точками из сокращений в точки , а не просто оператор . MM∀$\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Наконец, следующие теоремы о неподвижной точке имеют конструктивные версии:

   • Теорема Кнастера-Тарского о неподвижной точке для монотонных отображений на полных решетках
   • Теорема Банаха о неподвижной точке для сжатий на полном метрическом пространстве
   • Теорема Кнастера-Тарского о неподвижной точке для монотонных отображений на dcpos (доказано Патараем)
   • Различные теоремы о неподвижной точке в теории областей обычно имеют конструктивные доказательства
   • Теорема о рекурсии является формой теоремы о неподвижной точке и имеет конструктивное доказательство
   • Я доказал теорему, Кнастер-Тарский с фиксированной точкой для карт монотонных на цепном полный ч.у.м. вовсе не имеет конструктивное доказательство. Точно так же теорема Бурбаки-Витта о неподвижной точке для прогрессивных отображений на полнотелых цепочках конструктивно не выполняется. Контрпример для более позднего происходит из эффективного топоса: в эффективных топосах ординалы (соответственно определенные) образуют множество, а карты-преемники являются прогрессивными и не имеют фиксированных точек. Кстати, карта преемников на ординалах не монотонна в эффективных топосах.

Теперь это гораздо больше информации, чем вы просили.