Что произойдет, если мы улучшим теоремы иерархии времени?

10

Короче говоря, теоремы иерархии времени говорят о том, что машина Тьюринга может решить больше проблем, если у нее будет больше времени для вычислений. Подробно для детерминированных TM и функций, построенных по времени, с это и для недетерминированных функций TM и функций времени, с это Есть много (старых и текущих) результатов, которые используют теоремы иерархии времени, чтобы доказать нижние границы. Вот мои вопросы: $f,g$ $f(n) \log f(n) = o(g(n))$

D T I M E (f (n)) ⊊ D T I M E (g (n))

$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$

f, g

$f,g$

f (n + 1) = o (g (n))

$f(n+1)=o(g(n))$

N T I M E (f (n)) ⊊ N T I M E (g (n)) .

$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$

Что произойдет, если мы сможем доказать лучший результат для детерминированного или недетерминированного случая?
Если мы можем доказать, что существует разрыв между детерминированной иерархией времени и недетерминированной иерархией времени, означает ли это $P \neq NP$ ?

— Марк Бери
источник

Просто небольшая заметка. Для машин Тьюринга с k-лентой с

k > 2

$k > 2$ теорема иерархии времени может быть улучшена: cstheory.stackexchange.com/questions/5297/…

— Майкл Вехар,

4

О вашем втором вопросе. Нет, это не подразумевает . Теоремы об иерархии в основном полезны для определения количества отдельного ресурса, необходимого для ТМ, чтобы можно было решить дополнительные проблемы. $P \neq NP$

Например, мы знаем, что . Пусть , , такое, что и . $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $f(n) = n$ $g(n)$ $h(n)$ $f(n+1) = o(g(n))$ $f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

Из теорем иерархии следует, что и . При этих предположениях возможно . $DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$ $NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$ $NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

Теоремы об иерархии могут быть использованы для определения отношений между ресурсами при условии равенства между ними. Например, предположим, что . Мы знаем, что для такого что , не может быть равен из-за теоремы иерархии NTIME. $NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$ $NTIME( g(n) )$ $g(n)$ $2^{n+1} = o(g(n))$ $SPACE(n)$

— chazisop
источник

1

Я не понимаю, почему разрыв не может подразумевать . Конечно, это не прямое следствие разрыва, но, возможно, есть другое промежуточное следствие, которое подразумевает это.

P \neq N P

$P \neq NP$

— Марк Бери

0

Иерархия также относится к континууму во времени и пространстве (рассматривается отдельно), и представляется возможным, что континуум не более «гранулирован», чем подразумевается в теоремах, т.е. они могут быть наилучшей возможной «гранулярностью».

Ваш второй вопрос кажется неясным или, возможно, не очень четко определенным, если вы не можете лучше определить, что вы подразумеваете под «пробелом». все разрешимые проблемы разрешимы где-то в обеих иерархиях. сложность состоит в том, чтобы определить взаимосвязи. один из редких «пробелов» или разделений в современной теории действительно был доказан в детерминированное время по сравнению с недетерминированным временем, так что [1]. см. также [2] для аналогичного вопроса и "недавних" достижений $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?

— ВЗН
источник