Нижние границы для структур данных

14

Известны ли результаты, которые исключают существование «слишком хороших, чтобы быть правдивыми» структур данных?

Например: можно ли добавить функциональность и в структуру данных ведения заказа (см. Dietz and Sleator STOC '87 ) и при этом получить временных операций? $Split$ $Join$ $\mathcal{O}(1)$

Или: можно ли реализовать упорядоченный набор с целочисленными ключами и временными операциями? Конечно, это по крайней мере так же сложно, как найти алгоритм линейного времени для сортировки целых чисел. $\mathcal{O}(1)$

Было ли доказано, что ответ был отрицательным для любого из этих вопросов? Известны ли результаты нижней границы для любой естественной структуры данных?

— Шон Харкер
источник

Все изменится, если мы сможем добавить ограничения в проблемное пространство. Например, если у нас ограниченный набор ключей и достаточно памяти, мы можем отсортировать их по линейному времени, используя битовый вектор.

— Jetru

1

Я думаю, что причина того, что вы не получаете слишком много ответов на этот вопрос, заключается в том, что возможностей так много. Многие, многие структуры данных имеют нижние границы, и трудно просто не наткнуться на них. Поиск в Google «структура данных» «нижняя граница» включает в себя 5 статей, которые еще не упомянуты в этой теме. Я думаю, что вы получите больший успех, если получите ответ на свой вопрос, если вы ограничите его, возможно, удалив часть о «естественной структуре данных» и просто спросив о ведении списка или целочисленных упорядоченных наборах (но не оба в одном вопросе).

— Jbapple

Я пропустил, что 5 статей, которые я нашел в поиске Google, были только на первой странице результатов поиска.

— Jbapple

@jbapple: Вы правы! Я думаю, что клики людей в этом сообществе, пытающихся помочь мне с моим вопросом, подтолкнули хорошие результаты к вершине списка. (Например, ЭТА страница находится в списке!) Я не помню, чтобы она была полезной, когда я впервые выполнил поиск, иначе я бы ограничил вопрос, как вы предлагаете. (Или я был большой куклой, это тоже возможно. :))

— Шон Харкер

19

Существует очень приятно говорить о динамических нижних оценках на графиках Михая Pătraşcu. В итоге (на стр. 20 слайдов) у нас есть нижние границы с точки зрения времени запроса и времени обновления (вставить ребро): $t_q$ $t_u$

введите описание изображения здесь

Смотрите документ для деталей. Некоторые другие работы Михая тоже актуальны и хороши.

ОБНОВЛЕНИЕ: я обнаружил, что его кандидатская диссертация « Методы нижних границ для структур данных » дает нижние оценки для многих проблем центральной структуры данных, используя разработанные им методы. Это, безусловно, стоит прочитать.

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

1

Этот тезис замечательный, большое спасибо за то, что поделились ссылкой.

— Шон Харкер

6

Ответ на любой из ваших вопросов зависит от модели вычислений. Например, на многих машинах умножение целых чисел обходится дороже, чем их добавление. Некоторые модели отражают это, а некоторые нет.

$O(\sqrt{\log n/ \log \log n})$

— jbapple
источник

Ницца. Но, похоже, вы переоценили результат в работе Андерссона и Торупа. Это относится только к линейным пространственным структурам, а не ко всем полиномиальным пространственным структурам.

— Шон Харкер

2

Андерссон и Торуп цитируют Бим и Фич для полиномиального пространства: «Нижняя граница следует из результата Бим и Фич. Это показывает, что даже если мы просто хотим поддержать операции вставки и предшественника в полиномиальном пространстве, одна из этих двух операций имеет наихудшая граница Ω (sqrt (log n / log log n)), совпадающая с нашей общей верхней границей. Отметим, что можно найти лучшие оценки и компромиссы для некоторых отдельных операций. Действительно, мы будем поддерживать min, Максимум, предшественник, преемник, и операции удаления в постоянном времени, и только вставьте и ищите в Θ (sqrt (log n / log log n)) времени. "

— Jbapple

Я вижу, линейное пространство входит, чтобы объявить верхнюю границу , но следствие 3.10 Бима и Фича дает нижнюю границу многопространства , как вы заявили, и я глупо противоречил. Мне также приходит в голову, что кто-то может объявить худшие времена для верхних границ, а объявление амортизированных времен для нижних границ. В работе Андерссона и Торупа действительно цитируются (стр. 5) Бим и Фич для амортизированной нижней (и верхней) границы. Но следствие 3.10 только дает нижнюю оценку для наихудшего случая. Может быть, кто-то может дать мне подсказку на это?

— Шон Харкер

2

В дополнение к тому, что вы упоминаете в своем вопросе, один классический пример использует тот факт, что целые числа не могут быть отсортированы с использованием сравнений быстрее, чем $O(n \log n)$ чтобы доказать несуществование надстроек.

Кроме того, весьма обычно использовать аргументы теории информации (например, сложность Колмогорова), чтобы доказать нижние оценки для структур данных.

— chazisop
источник