Имеет

37

Насколько я понимаю, программа теории геометрической сложности пытается разделить , доказав, что постоянство комплексной матрицы гораздо сложнее вычислить, чем определитель. $VP \neq VNP$

Вопрос, который у меня возник после просмотра документов GCT: будет ли это сразу означать , или это просто важный шаг к этой цели? $P \neq NP$

— Бенно
источник

3

AFAIK, зоопарк дает всю известную информацию. qwiki.stanford.edu/wiki/Complexity_Zoo:V#vnp

— Микаэль Кадилхак

Монография Питера Бюргиссера «Полнота и редукция в теории алгебраической сложности» (math-www.uni-paderborn.de/agpb/work/habil.ps) может дать вам лучшее представление о данном вопросе.

— MCH

Просто обновляю URL Михаэля: сложностьzoo.uwaterloo.ca

— Complexity_Zoo:V#vnp

27

Короткий ответ - нет'. Никаких таких последствий не известно. Есть два основных препятствия: переход от сложности арифметической схемы к логической сложности (VP ≠ VNP подразумевает P / poly ≠ NP / poly), а затем переход от сложности логической схемы (P / poly ≠ NP / poly) к однородной сложности (P ≠ NP). ). Ни один из этих шагов не известен. Однако я считаю, что P / poly poly NP / poly подразумевает VP ≠ VNP.

— Moritz
источник

4

Ваше последнее предложение верно: если есть поле, где VP = VNP, то P / poly = NP / poly (перейдите по ссылке в комментарии Кадилхака).

— Диего де Эстрада

22

Предполагая обобщенную гипотезу Римана (GRH), известны следующие довольно сильные связи между и коллапсом полиномиальной иерархии ( ): $VP= VNP$ ${\rm PH}$

Если $VP= VNP\,$ (над любым полем), тогда иерархия полиномов падает на второй уровень;

Если $VP=VNP\,$ над полем характеристики , тогда ; $0$ $\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Если $VP=VNP\,$ над полем конечной характеристики , тогда . $p$ $\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

Это результаты: Питер Бургиссер, «Гипотеза Кука против Валианта », Теор. Комп. Sci., 235: 71–88, 2000.

См. Также: Бургиссер, « Полнота и редукция в алгебраической теории сложности », 1998.

— Иддо Цамерет
источник

1

Я думаю, что вы имели в виду, что

подразумевает коллапс полиномиальной иерархии, а не

V P = V N P

$VP = VNP$

V P \neq V N P

$VP \neq VNP$ подразумевает это.

— Робин Котари

15

Я могу дать вам неофициальную причину , по которой разделение не будет доказать . $P \ne NP$

VP и VNP фокусируются на алгебраических функциях, степень которых ограничена полиномом. Обратите внимание, что это легко вычислить в алгебраической функции экспоненциальной степени с алгебраической схемой полиномиального размера.

Хорошо известно уменьшение глубины 1 для алгебраических цепей: любая алгебраическая схема полиномиального размера, вычисляющая полином степени может быть превращена в алгебраическую схему полиномиального размера и глубины . $d$ $O(\log d \log n)$

Вы можете думать о как алгебраический вариант , таким образом , доказывает , что составляет доказать алгебраическую неравномерную эквивалент . Это не исключает , по крайней мере, не сразу. $VP$ $NC^2$ $VP \ne VNP$ $NC^2 \ne \# P$ $P = NP$

Отказ от ответственности : я не могу получить доступ к бумаге прямо сейчас, и я не помню, работает ли сокращение в какой-либо области или только в конечных.

1 LG Valiant, S. Skyum, S. Berkowitz, C. Rackoff. Быстрое параллельное вычисление полиномов с использованием нескольких процессоров . SIAM J. Comput. 12 (4), с. 641-644, 1983.

— MassimoLauria
источник

2

это алгебраический неравномерное эквивалент

или

?

N C^{2} \neq N P

$NC^2 \neq NP$

N C^{2} \neq # P

$NC^2 \neq \# P$

— Джошуа Грохов

@JoshuaGrochow: вы правы, и я исправил это. В то время как

считается моральным эквивалентом

, это на самом деле более близко к духу

. На самом деле доля завершить проблемы.

V N P

$VNP$

N P

$NP$

# P

$\# P$

— MassimoLauria

2

Valiant et al. Результат работает для любой области.

— Иддо Цамерет