В чем разница между доказательствами и программами (или между предложениями и типами)?

Учитывая, что соответствие Карри-Говарда так широко распространено / расширено, есть ли разница между доказательствами и программами (или между предложениями и типами)? Можем ли мы действительно идентифицировать их?

Языки программирования, которые люди используют изо дня в день, не очень хорошо вписываются в соответствие Карри-Ховарда, потому что их системы типов слишком слабы. Чтобы сказать что-то интересное, используя Curry-Howard для императивных программ, нужно иметь более сложную систему типов. Книга « Адаптация доказательств как программ» ставит этот угол с целью синтеза императивных программ. Поскольку зависимые типы становятся все более и более популярными, безусловно, в исследовательских функциональных языках ( Agda , Epigram ), различие становится более размытым. Конечно, вы можете выполнять синтез / извлечение программ в программе проверки теорем Кок (и, вероятно, в других), которая, конечно, основана на Карри-Ховарде.

Переписка Карри-Ховарда может также использоваться в ситуациях, когда доказательства не так четко соответствуют программам (или они не являются программами, которые кто-либо когда-либо будет запускать). Одним из примеров этого является проверка подлинности . Предложения соответствуют заявлениям о том, кто на что уполномочен. Доказательства предоставляют необходимые доказательства наличия предложения, поэтому запрос на авторизацию разрешается. Чтобы закодировать доказательства, вводятся термины доказательства (через Curry-Howard). Условия подтверждения отправляются между сторонами в качестве подтверждения действительности запросов на авторизацию, но они не считаются программами.

В Coq есть 2 типа (Prop и Set), они используются программистом для разделения того, что является доказательствами, которые не будут генерировать фактический код, и частью доказательства, которая будет использоваться для извлечения исполняемого кода (вашей программы).

Это хорошее решение проблемы, о которой вы спрашиваете, как определить, что предназначено для генерации машинного кода (программы) и что присутствует для завершения доказательства предложения (или типа).

AFAIK нет автоматического способа различить оба. Это может быть что-то интересное для исследования? Или, может быть, кто-то может указать, что это явно невозможно?

С зависимыми типами не только нет четкого различия между доказательствами и программами, но также нет различия между программами и типами! Единственное отличие будет в том, где появляется тип (или программа), что делает его частью места «программы» или места «типа» данного термина.

Надеюсь, пример прояснит ситуацию:

Когда вы используете функцию тождественности с зависимыми типами, вам нужно передать тип, с которым вы собираетесь использовать функцию! Тип используется в качестве значения в вашей «программе»!

Нетипизированное лямбда-исчисление:

$\lambda{x}.x$

С зависимыми типами:

id: (A: Set) -> A -> A

$(\lambda{A}.(\lambda{x}.x))$

Если вы используете эту функцию, вы бы сделали это, как в следующем примере:

id Naturals 1

Обратите внимание, что «тип» (в данном случае набор натуральных чисел), передаваемый как значение, отбрасывается, поэтому он никогда не будет вычислен, но все же он находится в части «программа» термина. Это то же самое, что произойдет с «доказательственными» частями, они должны быть там, чтобы термин проверял, но во время вычислений они будут отброшены.

Я выхожу здесь на передний план и говорю, что, если вы захотите немного щуриться, можно найти доказательства и прекращающие программы.

Любая завершающая программа является доказательством того, что вы можете взять ее ввод и произвести вывод. Это очень простой вид доказательства подтекста.

Конечно, чтобы сделать это следствие несущим информацию более значимым, чем изложение очевидного, вам нужно показать, что программа работает для любого и всех случаев ввода, выводимого из некоторого класса с логическим значением. (И так же для вывода.)

С другой стороны, любое доказательство с конечными шагами вывода является символической программой, управляющей объектами в некоторой логической системе. (Если мы не слишком беспокоимся о том, что логические символы и правила означают в вычислительном отношении.)

$\exists x : x \vdash T$

Это довольно упрощенно, но я думаю, что это говорит об устойчивости идеи. (Даже если некоторым людям это не понравится. ;-))

Доказательство неуместно?

Когда вы пишете какую-то программу, вас интересует ее производительность, потребление памяти и т. Д.
Например, лучше использовать какой-нибудь умный алгоритм сортировки вместо пузырьковой сортировки, даже если их реализации имеют одинаковые типы (даже в настройке зависимого типа).

Но когда вы доказываете некоторую теорему, вас интересует только существование доказательства.

Конечно, с эстетической точки зрения некоторые доказательства являются более простыми / красивыми / вдохновляющими / и т.д. (например, доказательства из Книги).

Если вы принимаете переписку Карри – Ховарда, тогда вопрос в основном философский. «Различны ли доказательства и программы? Конечно. Как? Ну, мы называем доказательства« доказательствами », а программы -« программами ».

Или, говоря проще, если между доказательствами и программами существует изоморфизм - который кажется очевидным, - тогда ваш вопрос состоит в том, существует ли какой-либо оракул, способный их различить. Люди классифицируют их как отличающихся (по большей части), поэтому, несомненно, можно утверждать, что такой оракул существует. Тогда возникает важный вопрос: есть ли между ними какое-либо значимое различие, которое предстоит обсудить философски. Что такое «доказательство»? Не существует формального определения того, что составляет доказательство; это термин искусства, очень похожий на понятие «эффективно вычисляемый» в тезисе Черча-Тьюринга. В этом отношении «программа» также не имеет формального определения.

Это слова естественного языка, используемые для классификации различных областей математического исследования. Что заметил Карри и Говард, так это то, что эти две разные области фактически изучают одно и то же. Заметить эту связь важно, потому что она говорит, что эти разные исследователи должны разговаривать друг с другом. Но на другом уровне заметить связь - значит поверить в разницу между ними. При решении проблемы иногда выгоднее думать о ней как о проблеме программирования, тогда как в других случаях выгоднее думать о ней как о логической проблеме. Эта разница в перспективе, я думаю, важная разница между ними. Но является ли различие во взглядах разницей в идентичности - это глубокий философский вопрос, который был исследован, по крайней мере, еще во времена ФрегеUeber Sinn und Bedeutung .