Доказательства получены только с помощью теории спектральных графов

28

Я все больше интересуюсь теорией спектральных графов, которая мне кажется интересной, и я начал собирать несколько документов, которые мне еще предстоит прочитать более тщательно, чем то, что я имею до сих пор.

Однако мне любопытно высказывание, которое появилось в нескольких источниках (например, там ), в котором говорится, что некоторые результаты в теории графов были доказаны с использованием только методов, основанных на спектре, и что до сих пор нет доказательств того, что Обход тех приемов известен.

Если я не пропустил это, я не помню, чтобы видел такой пример в литературе, которую я до сих пор читал. Кто-нибудь из вас знает примеры таких результатов?

— Энтони Лабарре
источник

Название вопроса предполагает, что вы запрашиваете доказательства, которые можно получить только с помощью теории спектральных графов, но вы запрашиваете доказательства, которые до сих пор были получены только с помощью теории спектральных графов. Это два совершенно разных вопроса. Таким образом, название вводит в заблуждение, поэтому я изменил его.

— Дейв Кларк,

@ Дейв, я сделал откат

— Суреш Венкат

5

В главе 7 « Спектры графиков » Цветковича, Дуба и Сакса приводится множество примеров теорем, в формулировках которых нет прямого упоминания о спектрах, но которые доказуемы с использованием спектральных методов. Я предполагаю, что многие из них не имеют известных не спектральных доказательств, хотя вам придется проверять это в каждом конкретном случае. Конечно, во многих случаях самое простое или естественное доказательство использует спектры.

— Тимоти Чоу

@ Тимоти Чоу: Спасибо, я постараюсь достать это.

— Энтони Лабарр

@TimothyChow: думаю, вы должны сделать это ответом.

— Суреш Венкат

12

Теорема Хоффмана – Синглтона .

— Колин Маккуиллан
источник

Хоффман-Синглтон тоже был моей первой мыслью. Но я не знаю, существуют ли какие-либо неспектральные доказательства, и если их нет, то это потому, что они слишком сложны или потому что никто не пытался. Стандартное доказательство довольно аккуратное и лаконичное, поэтому я не знаю, как это мотивировать, чтобы получить не спектральное доказательство.

— Mhum

9

Как насчет этого результата на квантовых вычислениях.

Марио Сегеды. Квантовое ускорение алгоритмов на основе цепей Маркова. В FOCS'04.

Он расширяет цепочки Маркова до квантовых цепей Маркова и показывает, что время квантового удара сверху ограничено квадратным корнем классического времени удара. Он делает это, связывая сингулярные векторы классической цепи Маркова с сингулярными векторами квантовой цепи Маркова. До этой статьи не было никакой известной связи между случайными и квантовыми блужданиями. Я не могу представить, как сделать то же самое, используя не спектральные методы.

— Маркос Вильягра
источник

8

Я думаю, что теорема о дружбе (см. Также статью Хунеке ) является хорошим примером, хотя, строго говоря, в настоящее время существуют доказательства теоремы о дружбе, которые избегают собственных значений. Доказательства, которые полностью избегают собственных значений, намного сложнее, чем спектральное доказательство.

(Теорема о дружбе гласит, что если в комнате людей у каждой пары людей есть только один общий друг, то есть кто-то, кто знает всех остальных.)

— Тимоти Чоу
источник

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Несмотря на то, что формулировка теоремы, несомненно, не является «изначально спектральной», я не думаю, что известно, как можно получить этот результат или подобный результат без использования спектральных методов.

— Лев Рейзин
источник

Это немного спорно, является ли это утверждение не неотъемлемо Спектральный. В буквальном смысле вы правы, но единственное обоснование, которое я могу придумать, почему квадратичная форма проявляется, это спектрально.

— Суреш Венкат

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Конечно, - но можно представить, как получить эти спарсификаторы другим способом. Но, да, это может быть не лучшим примером ...

— Лев Рейзин