Нижние оценки пороговой функции

В сложности дерева решений для булевой функции очень хорошо известный метод нижней границы состоит в том, чтобы найти (приблизительный) многочлен, который представляет функцию. Патури дал характеристику для симметричных булевых (частичных и полных) функций в терминах величины, обозначаемой :$\Gamma$

Теорема ( Патури ): Пусть$f$ быть любой непостоянной симметричной функцией, и обозначить $f_k=f(x)$ когда $|x|=k$ (т.е. вес Хэмминга $x$ является $k$). Примерная степень$f$, обозначается $\widetilde{deg}(f)$, является $\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$, где $\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

Теперь пусть будет пороговой функцией, т.е. если . В этой статье (см. Раздел 8, стр. 15) говорится, что .$Thr_t(x)$$Thr_t(x)=1$$x\geq t$$\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$

Заметим, что для пороговой функции имеемпотому что когда функция меняется с 0 на 1. Я прав?$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$$|x|=t-1$

Если я непосредственно применю теорему Патури к этому значению , я не получу нижнюю границу пороговой функции, о которой сообщалось в других статьях. Является ли значение выше верным? Что мне не хватает?$\Gamma$$\Gamma(Thr_t)$

Редактировать: я также пытался вычислить нижнюю границу квантового противника для порога. Сначала рассмотрим теорему.

Теорема (невзвешенный квантовый противник). Пусть - частичная булева функция, и пусть и - подмножество (жестких) входов. Пусть - отношение, и для каждого . Обозначим через минимальное число единиц в любой строке и любом столбце в отношении соответственно, а через обозначим максимальное число единиц в любой строке и столбце в любом из отношений соответственно. Тогда .$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

Если я определю как набор всех входов с числом 1, большим или равным , и всеми входами с 1s, строго меньшим , я получу (после некоторой алгебры), что .$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

Так что я не получаю те же нижние границы, о которых сообщалось в других статьях. Теперь давайте сравним эти границы. На рисунке ниже показано для и без квадратных корней сравнение между оценкой теоремы Патури (синим цветом), оценкой противника (красным) и оценочной границей из других работ (зеленым).$n=200$

Мои вопросы:

1- Как я могу получить оценку в других статьях?

2. Из рисунка видно, что указанная нижняя граница (зеленая) также нижняя граница границы Патури и границы противника. Разве это не ослабляет «реальную» нижнюю границу? Например, если Патури говорит, что для всех симметричных функций у нас есть эта граница, то как вы можете получить соответствующую верхнюю границу для квантового счета ( )? Разве эта верхняя граница не нарушает теорему Патури?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

Я не знаю, как вы можете получить или увидеть границу из оригинальной границы но вот доказательство того, что эти оценки асимптотически равны с точностью до постоянного множителя:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

Сначала посмотрите, что (я исключаю потому что пороговая функция всегда равна ) $t = 0$$1$

Определите , и .$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

Теперь вы должны вычислить максимальное значение (согласно пределах определенных интервалов) фракций , , и . Вы можете сделать это с помощью дифференциального исчисления или аппроксимации с помощью графика (при достаточно большом ):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

Это дает вам а также желаемый результат

Есть ли более простой способ увидеть / получить этот результат?