Задача обучения вычислимости

Мне трудно преподавать понятие вычислимых функций. Я попытался развить идею, почему такие исследователи, как Гильберт / Аккерманн / Годель / Тьюринг / Черч / ... изобрели понятие «вычислимости». Студенты сразу спросили: «что означает вычислимость?» и я не могу ответить, пока не научу их машинам Тьюринга, а затем отвечу: «Функция вычислима, если машина Тьюринга вычисляет ее».

Так,

Есть ли описание вычислимости, которое не требует использования машин Тьюринга, λ-исчисления или подобных моделей вычислений? Даже интуитивного описания будет достаточно.

75 лет назад вокруг не было компьютеров. Поэтому нужно было очень тщательно объяснить математическую идею компьютера.

Сегодня все знают, что такое компьютер, и, вероятно, большую часть времени носят его с собой. Это может быть очень успешно использовано в обучении, потому что вы можете пропустить устаревшую идею машины с лентой. Я имею в виду, кто использует ленту? (Я знаю, я знаю, вы чувствуете себя оскорбленным, и Тьюринг был великим человеком, и все такое, и я с вами согласен).

Вы просто идете в класс и спрашиваете: что там, что ваши айфоны не могут вычислить? Это сразу же приводит вас к вопросам о ограниченных ресурсах. Затем вы говорите: хорошо, предположим, что у вашей машины действительно было неограниченное количество памяти, есть что-то, что она не могла вычислить? И вы идеализируете немного больше и ограничите внимание теоретико-числовыми функциями (потому что вы не интересуетесь Facebook в данный момент). Вам придется немного объяснить, как работают компьютеры (как уже упоминалось в комментариях, хорошо, если студенты знают язык программирования, потому что вы можете использовать его вместо описания аппаратного обеспечения), но после этого вы можете использовать все классические аргументы вычислимости теория для получения результатов. Неважно, что ментальная картина ваших учеников - это iPhone. На самом деле это имеет значение:для них более важно знать, что их iPhone не может делать определенные вещи.

«Функция вычислима, если существует« эффективная процедура »для перехода от ввода к выводу». Представляя эту тему, я в прошлом указывал, как они (студенты) имеют эффективную процедуру для решения квадратных уравнений, но не имеют одну для решения уравнений степени 5 или более. Это может привести к обсуждению того, как можно формализовать «эффективную процедуру», но это обсуждение - то, чего вы хотите добиться, поэтому я думаю, что это особенность, а не ошибка.

Возможно, дело в том, что все эти модели были направлены на то, чтобы охватить понятие вычислимости. Тот факт, что все они эквивалентны, означает, что понятие, которое они пытаются охватить, является надежным. Таким образом, хотя это не устраняет вашу дилемму, эта надежность дает уверенность в том, что «функция вычислима, если есть машина Тьюринга, которая ее вычисляет».

Я начинаю с вопроса: «Есть ли вопрос, на который ни один компьютер не смог бы ответить убедительно?» и вести дискуссию к философским вопросам, таким как «если дерево падает в лесу, оно издает звук?» или "есть ли загробная жизнь?" Мы быстро получаем согласие с тем, что человеческий язык может выражать вопросы «да / нет», связанные с парадоксами или концепциями, которые не могут быть выражены математически, и, таким образом, да, есть невычислимые вопросы.

Затем я риторически спрашиваю, есть ли невычислимые вопросы о понятиях, которые могут быть представлены в компьютере, например, целые числа и графы. Я говорю, что да, один из примеров - известная проблема остановки, которая касается изучения описания программы и определения наличия в ней бесконечных циклов. Интуитивно понятно, что бесконечные циклы похожи на черные дыры, и любая программа, которая наблюдает бесконечный цикл, может оказаться в ловушке самого бесконечного цикла. Таким образом, любая процедура, которая отвечает на эту проблему, может выполняться вечно, поэтому по определению «алгоритм» ни один алгоритм не может решить проблему остановки.

Затем я возвращаюсь к доказательствам на машинах Тьюринга.

Ну, функция вычислима, если она принимает входные данные, которые сформированы или сгенерированы определенным шаблоном. Конкретный шаблон означает, что все входы должны иметь отношение, конкретный вход может быть сгенерирован им на предыдущем или следующем входе. Если входы не имеют такого типа последовательности, тогда нет возможности разработать модель или функцию, которая может принять. Еще одна вещь, которую я хочу сказать, это то, что между машиной и человеком есть принципиальная разница. Машина не может быть сформирована для непоследовательных входов, но люди. Кроме того, это большое прерывание создания настоящих роботов, ведущих себя человеком.