Нижние границы размера CFG для определенных конечных языков

Рассмотрим следующий естественный вопрос: для какого конечного языка наименьшая не зависящая от контекста грамматика порождает L ?$L$$L$

Мы можем сделать вопрос более интересным, указав последовательность языков , например, L n - это множество всех перестановок { 1 , … , n } : интуитивно, CFG для L n «должен» иметь размер Ω ( п ! ) . Таким образом, нас интересует асимптотический размер самых маленьких CFG для языков.$L_n$$L_n$$\{1,\ldots,n\}$$L_n$$\Omega(n!)$

Подобные вопросы были рассмотрены в нескольких статьях:

• Чарикар и др. («Аппроксимация наименьшей грамматики: сложность Колмогорова в естественных моделях») рассмотрим, насколько трудно приблизиться к размеру наименьшего CFG, порождающего данное слово .
• Больше работы в этом направлении - Арпе и Рейщук, «О сложности оптимального сжатия на основе грамматики».
• У Питера Асвельда есть несколько работ на эту тему (например, «Генерация всех перестановок с помощью контекстно-свободных грамматик в нормальной форме Хомского»). Он пытается оптимизировать некоторые параметры на определенных типах грамматик, генерирующих множество всех перестановок, в частности нормальных форм Хомского и Грейбаха.

$\Omega(n!)$$L_n$

Существуют ли статьи, предоставляющие нижние оценки для размера контекстно-свободных грамматик для конкретных конечных языков?

$L_n$

Добрый рецензент прислал мне бумагу, которая доказывает точно такую ​​же нижнюю границу, как и я, точно таким же образом. Бумага

К. Эллул, Б. Кравец, Дж. Шаллит, М.-В. Ван, Регулярные выражения: новые результаты и открытые проблемы , J. Autom. Lang. Гребень. 10 (2005), 407–432.

Результатом является теорема 30 в статье.