Аксиомы, необходимые для теоретической информатики

Этот вопрос вдохновлен аналогичным вопросом о прикладной математике на mathoverflow, и что ноющая мысль, что важные вопросы TCS, такие как P против NP, могут быть независимыми от ZFC (или других систем). В качестве небольшого фона обратная математика - это проект поиска аксиом, необходимых для доказательства некоторых важных теорем. Другими словами, мы начинаем с набора теорем, которые ожидаем, чтобы быть верными, и пытаемся вывести минимальный набор «естественных» аксиом, которые делают их таковыми.

Мне было интересно, если обратный математический подход был применен к любым важным теорем TCS. В частности к теории сложности. С тупиком по многим открытым вопросам в TCS кажется естественным задавать вопрос «какие аксиомы мы не пробовали использовать?». В качестве альтернативы, было ли показано, что какие-либо важные вопросы в TCS не зависят от некоторых простых подсистем арифметики второго порядка?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Артем Казнатчеев
источник

Две возможные аксиомы, которые не могут быть независимыми: 1) 3-SAT требует

времени. 2) С учетом выполнима 3SAT формула, каждый эффективный алгоритм удовлетворяет в большинстве

группы фракций из пунктов. Кроме того, умножение двух простых чисел одинакового размера трудно инвертировать (эффективно).

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Мухаммед Аль-Туркистани

Эта статья актуальна: Гарри Бурман, Лэнс Фортнов, Лин Торенвлит, «Шесть гипотез в поисках теоремы», CCC, стр.2, 12-я ежегодная конференция IEEE по вычислительной сложности (CCC'97), 1997

— Мохаммед Аль-Туркистани,

Следующий вопрос связан с: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… Большая часть TCS может быть формализована в RCA_0. Теорема о второстепенном графе является редким исключением. Как подчеркивает Нил, если вы хотите новых идей, то ищите новые идеи; не ищите новых аксиом. Два не совсем то же самое.

— Тимоти Чоу

Я смущен, почему результаты как заявления на

или

заявлены. В моей первой лекции по TCS мы начали с натуральных чисел и некоторых основных функций для них. Остальное следует. Видимо я не понимаю вопроса.

P

$P$

N P

$NP$

— Рафаэль

Я только что заметил это, но, по-видимому, Липтон задал похожий вопрос в этом посте: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/… , чтобы процитировать: «Интересно, есть ли методы доказательства, которые включают идеи далеко за пределами ПА, которые мы имеем не используется, и это поможет раскрыть некоторые важные проблемы. Должны ли мы учить наших аспирантов методам из областей математики, которые лежат за пределами ПА? " (PA = Пеано Арифметика)

— Артем Казнатчеев

Ответы:

Да, тема была изучена в доказательстве сложности. Это называется ограниченная обратная математика . Вы можете найти таблицу с некоторыми результатами обратной математики на странице 8 книги Кука и Нгуена « Логические основы сложности доказательств », 2010 год. Некоторые из предыдущих учеников Стива Кука работали над похожими темами, например, диссертация Нгуена « Ограниченная обратная математика ». Университет Торонто, 2008.

Александр Разборов (также другие теоретики сложности доказательств) приводит некоторые результаты о слабых теориях, необходимых для формализации методов сложности схем и доказательства нижних оценок сложности схем. Он получает некоторые результаты недоказуемости для слабых теорий, но теории считаются слишком слабыми.

Все эти результаты доказуемы в (базовая теория Симпсона для обратной математики), поэтому AFAIK у нас нет результатов независимости от сильных теорий (и на самом деле такие результаты независимости будут иметь серьезные последствия, как упомянул Нил, см. Бен - работа Дэвида (и связанные с ней результаты) по независимости от где является продолжением ). $RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— Кава
источник

Такие результаты независимости были бы серьезным прорывом, но я не думаю, что они имеют какие-либо немедленные сильные последствия; см. мой комментарий к ответу Нила.

— Тимоти Чоу

@ Тим, спасибо, ты прав, я исправил свой ответ. Это не

, это

расширенный всеми истинными универсальными предложениями арифметики, и Бен-Дэвид утверждает, что если вопрос не зависит от этой более сильной теории, то SAT имеет почти полиномиальный алгоритм времени. Таким образом, предположение (намного) сильнее, но окончательное утверждение остается тем же. (и известные в настоящее время методы доказательства независимости от

также подразумевают независимость от

)

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

— Kaveh

Как положительный ответ на ваш последний вопрос, для доказательств нормализации полиморфных лямбда-исчислений, таких как исчисление конструкций, требуется как минимум арифметика более высокого порядка, а более сильные системы (такие как исчисление индуктивных конструкций) равнозначны ZFC плюс счетное число недоступных.

В качестве отрицательного ответа на ваш последний вопрос Бен-Дэвид и Халеви показали, что если не зависит от , арифметика Пеано расширяется аксиомами для всех универсальных арифметических истин, то существует почти полиномиальный алгоритм для SAT. Кроме того, в настоящее время нет известных способов генерировать предложения, которые не зависят от но не . $P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

Если говорить более философски, не делайте ошибку, приравнивая силу последовательности к силе абстракции.

Правильный способ организации предмета может включать явно дикие теоретико-множественные принципы, даже если они не являются строго необходимыми с точки зрения согласованности. Например, строгие принципы сбора очень полезны для определения свойств однородности - например, теоретики категорий в конечном итоге хотят, чтобы слабые большие кардинальные аксиомы манипулировали такими вещами, как категории всех групп, как если бы они были объектами. Наиболее известным примером является алгебраическая геометрия, в развитии которой широко используются вселенные Гротендика, но все приложения (такие, как последняя теорема Ферма), очевидно, лежат в арифметике третьего порядка. В качестве гораздо более тривиального примера отметим, что универсальные операции идентификации и композиции не являются функциями, поскольку они индексируются по всему множеству множеств.

$\sigma$ $X$ $X$

РЕДАКТИРОВАТЬ: логическая система A имеет большую прочность согласованности, чем система B, если согласованность A подразумевает согласованность B. Например, ZFC имеет большую согласованность, чем арифметика Пеано, поскольку вы можете доказать согласованность PA в ZFC. А и В имеют одинаковую прочность согласованности, если они равносильны. Например, арифметика Пеано непротиворечива тогда и только тогда, когда арифметика Хейтинга (конструктивна) есть.

ИМО, один из самых удивительных фактов о логике заключается в том, что сила согласованности сводится к вопросу "какова самая быстрорастущая функция, которую вы можете доказать в этой логике?" В результате согласованность многих классов логик может быть линейно упорядочена! Если у вас есть порядковая запись, способная описывать наиболее быстро растущие функции, которые могут отображать ваши две логики, то по трихотомии вы знаете, что либо одно может доказать непротиворечивость другого, либо они равнозначны.

Но этот удивительный факт также объясняет, почему сила согласованности не является правильным инструментом для разговоров о математических абстракциях. Это инвариант системы, включающей уловки кодирования, и хорошая абстракция позволяет вам выразить идею без уловок. Однако мы недостаточно знаем о логике, чтобы выразить эту идею формально.

— Нил Кришнасвами
источник

что такое «сила согласованности»?

— Суреш Венкат

Это не то, что доказали Бен-Давид и Халеви. Вы упустили из виду их главного гонщика, «используя доступные в настоящее время методы». Я интерпретирую их статью как подчеркивающую, насколько слабы наши современные методы доказательства, а не как много говорю о вопросе P = NP.

— Тимоти Чоу